Номер 16.30, страница 105, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

16.30. Докажите тождество:

a) $\sin^2(x - 8\pi) = 1 - \cos^2(16\pi - x)$;

б) $\cos^2(4\pi + x) = 1 - \sin^2(22\pi - x)$.

а) Для доказательства тождества $sin^2(x - 8\pi) = 1 - cos^2(16\pi - x)$ преобразуем его левую и правую части.

Сначала преобразуем левую часть. Функция синус является периодической с периодом $2\pi$, поэтому $sin(\alpha + 2\pi n) = sin(\alpha)$ для любого целого $n$. В нашем случае $8\pi = 4 \cdot 2\pi$, поэтому:

$sin(x - 8\pi) = sin(x)$

Следовательно, левая часть тождества равна:

$sin^2(x - 8\pi) = (sin(x))^2 = sin^2(x)$

Теперь преобразуем правую часть. Функция косинус также имеет период $2\pi$, и кроме того, она является четной, то есть $cos(-\alpha) = cos(\alpha)$. Поскольку $16\pi = 8 \cdot 2\pi$:

$cos(16\pi - x) = cos(-x) = cos(x)$

Следовательно, правая часть тождества равна:

$1 - cos^2(16\pi - x) = 1 - (cos(x))^2 = 1 - cos^2(x)$

В результате преобразований мы пришли к равенству $sin^2(x) = 1 - cos^2(x)$. Это равенство следует из основного тригонометрического тождества $sin^2(x) + cos^2(x) = 1$. Таким образом, исходное тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

б) Для доказательства тождества $cos^2(4\pi + x) = 1 - sin^2(22\pi - x)$ также преобразуем его левую и правую части.

Сначала преобразуем левую часть. Используем периодичность функции косинус ($T = 2\pi$). Так как $4\pi = 2 \cdot 2\pi$:

$cos(4\pi + x) = cos(x)$

Следовательно, левая часть тождества равна:

$cos^2(4\pi + x) = (cos(x))^2 = cos^2(x)$

Теперь преобразуем правую часть. Функция синус имеет период $2\pi$ и является нечетной, то есть $sin(-\alpha) = -sin(\alpha)$. Поскольку $22\pi = 11 \cdot 2\pi$:

$sin(22\pi - x) = sin(-x) = -sin(x)$

Следовательно, правая часть тождества равна:

$1 - sin^2(22\pi - x) = 1 - (-sin(x))^2 = 1 - sin^2(x)$

В результате мы получили равенство $cos^2(x) = 1 - sin^2(x)$. Это равенство также следует из основного тригонометрического тождества $sin^2(x) + cos^2(x) = 1$. Таким образом, исходное тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.