Номер 16.27, страница 105, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

Исследуйте функцию на чётность:

16.27. а) $f(x) = \sin x \cos x;$

б) $f(x) = \frac{\cos x^3}{4 - x^2};$

в) $f(x) = \frac{\cos x^3}{x(25 - x^2)};$

г) $f(x) = (4 + \cos x)(\sin^6 x - 1).$

а) $f(x) = \sin x \cos x$

Для исследования функции на чётность необходимо проверить два условия: симметричность области определения и поведение функции при замене $x$ на $-x$.

1. Область определения $D(f)$. Функции $\sin x$ и $\cos x$ определены для всех действительных чисел. Следовательно, область определения их произведения — вся числовая прямая, $D(f) = (-\infty; +\infty)$. Эта область симметрична относительно начала координат.

2. Найдём значение функции в точке $-x$:
$f(-x) = \sin(-x) \cos(-x)$.
Используем свойства чётности тригонометрических функций: $\sin(-x) = -\sin x$ (нечётная функция) и $\cos(-x) = \cos x$ (чётная функция).
Подставим их в выражение:
$f(-x) = (-\sin x)(\cos x) = -(\sin x \cos x) = -f(x)$.

Поскольку выполняется равенство $f(-x) = -f(x)$, данная функция является нечётной.

Ответ: функция нечётная.

б) $f(x) = \frac{\cos x^3}{4 - x^2}$

1. Область определения $D(f)$. Функция определена, если её знаменатель не равен нулю: $4 - x^2 \neq 0$, что равносильно $x^2 \neq 4$, то есть $x \neq \pm 2$.
Таким образом, $D(f) = (-\infty; -2) \cup (-2; 2) \cup (2; +\infty)$. Эта область симметрична относительно начала координат.

2. Найдём значение функции в точке $-x$:
$f(-x) = \frac{\cos((-x)^3)}{4 - (-x)^2}$.
Упростим числитель и знаменатель:
В числителе: $\cos((-x)^3) = \cos(-x^3)$. Так как функция косинус является чётной ($\cos(-a) = \cos a$), получаем $\cos(-x^3) = \cos x^3$.
В знаменателе: $4 - (-x)^2 = 4 - x^2$.
Следовательно, $f(-x) = \frac{\cos x^3}{4 - x^2} = f(x)$.

Поскольку выполняется равенство $f(-x) = f(x)$, данная функция является чётной.

Ответ: функция чётная.

в) $f(x) = \frac{\cos x^3}{x(25 - x^2)}$

1. Область определения $D(f)$. Знаменатель не должен быть равен нулю: $x(25 - x^2) \neq 0$. Это условие выполняется, если $x \neq 0$ и $25 - x^2 \neq 0$. Из второго неравенства следует $x^2 \neq 25$, то есть $x \neq \pm 5$.
Таким образом, $D(f) = (-\infty; -5) \cup (-5; 0) \cup (0; 5) \cup (5; +\infty)$. Эта область симметрична относительно начала координат.

2. Найдём значение функции в точке $-x$:
$f(-x) = \frac{\cos((-x)^3)}{(-x)(25 - (-x)^2)}$.
Упростим числитель и знаменатель:
Числитель, как и в предыдущем пункте, $\cos((-x)^3) = \cos x^3$.
Знаменатель: $(-x)(25 - (-x)^2) = -x(25 - x^2)$.
Подставив упрощённые части, получаем:
$f(-x) = \frac{\cos x^3}{-x(25 - x^2)} = -\frac{\cos x^3}{x(25 - x^2)} = -f(x)$.

Поскольку выполняется равенство $f(-x) = -f(x)$, данная функция является нечётной.

Ответ: функция нечётная.

г) $f(x) = (4 + \cos x)(\sin^6 x - 1)$

1. Область определения $D(f)$. Функции $\cos x$ и $\sin x$ определены для всех действительных чисел. Следовательно, область определения $f(x)$ — вся числовая прямая, $D(f) = (-\infty; +\infty)$. Эта область симметрична относительно начала координат.

2. Найдём значение функции в точке $-x$:
$f(-x) = (4 + \cos(-x))(\sin^6(-x) - 1)$.
Используем свойства чётности тригонометрических функций:
Первый множитель: $4 + \cos(-x) = 4 + \cos x$.
Второй множитель: $\sin^6(-x) - 1 = (\sin(-x))^6 - 1 = (-\sin x)^6 - 1 = \sin^6 x - 1$.
Таким образом, $f(-x) = (4 + \cos x)(\sin^6 x - 1) = f(x)$.

Поскольку выполняется равенство $f(-x) = f(x)$, данная функция является чётной.

Ответ: функция чётная.