Номер 16.20, страница 104, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

16.20. a) $ \sin x = \frac{2}{\pi}x; $

б) $ \sin x + \left(x + \frac{\pi}{2}\right)^2 + 1 = 0; $

В) $ \sin x = -\frac{4}{\pi}x + 3; $

Г) $ \sin x = x^2 + 1. $

а) $ \sin x = \frac{2}{\pi}x $

Для решения этого уравнения рассмотрим две функции: $ y_1 = \sin x $ и $ y_2 = \frac{2}{\pi}x $. Решениями уравнения будут абсциссы точек пересечения их графиков.

Функция $ y_2 = \frac{2}{\pi}x $ — это прямая, проходящая через начало координат.

Проверим некоторые значения. При $ x = 0 $ имеем $ \sin(0) = 0 $ и $ \frac{2}{\pi} \cdot 0 = 0 $, значит $ x = 0 $ — корень. При $ x = \frac{\pi}{2} $ имеем $ \sin(\frac{\pi}{2}) = 1 $ и $ \frac{2}{\pi} \cdot \frac{\pi}{2} = 1 $, значит $ x = \frac{\pi}{2} $ — корень. Так как обе функции, $ y_1(x) $ и $ y_2(x) $, нечетные ($ \sin(-x) = -\sin x $ и $ \frac{2}{\pi}(-x) = -\frac{2}{\pi}x $), то $ x = -\frac{\pi}{2} $ также является корнем, поскольку $ \sin(-\frac{\pi}{2}) = -1 $ и $ \frac{2}{\pi} \cdot (-\frac{\pi}{2}) = -1 $.

Докажем, что других корней нет. Область значений функции синуса — отрезок $ [-1, 1] $, то есть $ |\sin x| \le 1 $. Если $ |x| > \frac{\pi}{2} $, то $ |\frac{2}{\pi}x| > |\frac{2}{\pi} \cdot \frac{\pi}{2}| = 1 $. Следовательно, при $ |x| > \frac{\pi}{2} $ равенство $ \sin x = \frac{2}{\pi}x $ невозможно, так как левая часть по модулю не превосходит 1, а правая — строго больше 1.

Таким образом, все решения находятся на отрезке $ [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}] $. На этом отрезке график функции $ y = \sin x $ на участке $ [0, \frac{\pi}{2}] $ является выпуклым вверх, а прямая $ y = \frac{2}{\pi}x $ соединяет точки $ (0,0) $ и $ (\frac{\pi}{2}, 1) $. Из-за выпуклости функции $ \sin x $ на этом участке нет других точек пересечения кроме концов. Аналогично для участка $ [-\frac{\pi}{2}, 0] $.

Ответ: $ -\frac{\pi}{2}; 0; \frac{\pi}{2} $.

б) $ \sin x + (x + \frac{\pi}{2})^2 + 1 = 0 $

Перенесем слагаемые, чтобы выразить $ \sin x $:
$ \sin x = -(x + \frac{\pi}{2})^2 - 1 $.

Оценим левую и правую части уравнения.
Левая часть: $ \sin x $. Область значений функции синуса $ E(\sin x) = [-1, 1] $. Таким образом, $ \sin x \le 1 $ и $ \sin x \ge -1 $.
Правая часть: $ -(x + \frac{\pi}{2})^2 - 1 $. Так как выражение $ (x + \frac{\pi}{2})^2 $ всегда неотрицательно ($ (x + \frac{\pi}{2})^2 \ge 0 $), то $ -(x + \frac{\pi}{2})^2 \le 0 $. Вычитая 1 из обеих частей последнего неравенства, получаем: $ -(x + \frac{\pi}{2})^2 - 1 \le -1 $.

Итак, мы имеем: левая часть $ \sin x \ge -1 $, а правая часть $ -(x + \frac{\pi}{2})^2 - 1 \le -1 $. Равенство между ними возможно только в том случае, когда обе части одновременно равны $ -1 $.

Это приводит к системе уравнений:

$ \begin{cases} \sin x = -1 \\ -(x + \frac{\pi}{2})^2 - 1 = -1 \end{cases} $

Решим второе уравнение:
$ -(x + \frac{\pi}{2})^2 = 0 $
$ (x + \frac{\pi}{2})^2 = 0 $
$ x + \frac{\pi}{2} = 0 $
$ x = -\frac{\pi}{2} $.

Теперь проверим, является ли $ x = -\frac{\pi}{2} $ решением первого уравнения $ \sin x = -1 $.
Подставляем: $ \sin(-\frac{\pi}{2}) = -1 $. Равенство верное.

Поскольку $ x = -\frac{\pi}{2} $ является единственным решением второго уравнения и удовлетворяет первому, это единственное решение исходного уравнения.

Ответ: $ -\frac{\pi}{2} $.

в) $ \sin x = -\frac{4}{\pi}x + 3 $

Рассмотрим функцию $ h(x) = \sin x + \frac{4}{\pi}x - 3 $. Решения исходного уравнения — это нули функции $ h(x) $.

Найдем производную этой функции:
$ h'(x) = (\sin x + \frac{4}{\pi}x - 3)' = \cos x + \frac{4}{\pi} $.

Оценим знак производной. Мы знаем, что $ -1 \le \cos x \le 1 $. Так как $ \pi \approx 3.14 $, то $ \frac{4}{\pi} > 1 $. Тогда наименьшее возможное значение производной: $ h'(x)_{min} = -1 + \frac{4}{\pi} > 0 $.
Поскольку производная $ h'(x) $ всегда положительна, функция $ h(x) $ является строго возрастающей на всей числовой прямой.

Строго возрастающая функция может пересекать ось абсцисс (то есть принимать значение 0) не более одного раза. Следовательно, уравнение $ h(x) = 0 $ имеет не более одного корня.

Попробуем найти корень подбором. Проверим значение $ x = \frac{\pi}{2} $:
Левая часть: $ \sin(\frac{\pi}{2}) = 1 $.
Правая часть: $ -\frac{4}{\pi} \cdot \frac{\pi}{2} + 3 = -2 + 3 = 1 $.
Поскольку $ 1 = 1 $, $ x = \frac{\pi}{2} $ является корнем уравнения.

Так как мы доказали, что корень может быть только один, то $ x = \frac{\pi}{2} $ — единственное решение.

Ответ: $ \frac{\pi}{2} $.

г) $ \sin x = x^2 + 1 $

Оценим левую и правую части уравнения.

Левая часть: $ \sin x $. Область значений синуса $ E(\sin x) = [-1, 1] $. Таким образом, $ \sin x \le 1 $ для любого $ x $.

Правая часть: $ x^2 + 1 $. Поскольку $ x^2 \ge 0 $ для любого действительного $ x $, то $ x^2 + 1 \ge 1 $.

Сравним полученные оценки:
$ \sin x \le 1 $
$ x^2 + 1 \ge 1 $

Равенство $ \sin x = x^2 + 1 $ возможно только в том случае, если обе части одновременно равны 1. Это приводит к системе уравнений:

$ \begin{cases} \sin x = 1 \\ x^2 + 1 = 1 \end{cases} $

Решим второе уравнение:
$ x^2 + 1 = 1 $
$ x^2 = 0 $
$ x = 0 $.

Теперь проверим, удовлетворяет ли найденное значение $ x = 0 $ первому уравнению $ \sin x = 1 $.
Подставляем $ x = 0 $ в первое уравнение: $ \sin(0) = 0 $.
Получаем $ 0 = 1 $, что является ложным равенством. Таким образом, $ x = 0 $ не является решением первого уравнения.

Поскольку не существует такого значения $ x $, которое бы удовлетворяло обоим уравнениям системы одновременно, исходное уравнение не имеет решений.

Ответ: нет решений.