Номер 16.16, страница 103, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

16.16. Исследуйте функцию $y = \sin x$ на монотонность на заданном промежутке:

a) $ \left[\frac{5\pi}{2}; \frac{7\pi}{2}\right]; $

б) $ \left[-\frac{7\pi}{6}; \frac{\pi}{6}\right]; $

в) $ \left(\frac{11\pi}{3}; \frac{25\pi}{6}\right); $

г) $ \left(\frac{\pi}{3}; \frac{7\pi}{3}\right). $

Для исследования функции $y = \sin x$ на монотонность, необходимо найти ее производную и определить знаки производной на заданных промежутках.

Производная функции $y = \sin x$ равна $y' = \cos x$.

• Если $y' = \cos x > 0$ на промежутке, то функция $y = \sin x$ на этом промежутке возрастает.
• Если $y' = \cos x < 0$ на промежутке, то функция $y = \sin x$ на этом промежутке убывает.

Общие промежутки монотонности для $y = \sin x$ (где $k \in \mathbb{Z}$):

• Промежутки возрастания: $[-\frac{\pi}{2} + 2\pi k, \frac{\pi}{2} + 2\pi k]$
• Промежутки убывания: $[\frac{\pi}{2} + 2\pi k, \frac{3\pi}{2} + 2\pi k]$

а) Исследуем промежуток $[\frac{5\pi}{2}, \frac{7\pi}{2}]$.

Преобразуем концы промежутка:$\frac{5\pi}{2} = 2\pi + \frac{\pi}{2}$,$\frac{7\pi}{2} = 2\pi + \frac{3\pi}{2}$.Таким образом, мы рассматриваем промежуток $[2\pi + \frac{\pi}{2}, 2\pi + \frac{3\pi}{2}]$.

Этот промежуток соответствует общему промежутку убывания $[\frac{\pi}{2} + 2\pi k, \frac{3\pi}{2} + 2\pi k]$ при $k=1$.На этом промежутке производная $y' = \cos x \le 0$, следовательно, функция $y = \sin x$ убывает.

Ответ: функция убывает на всем промежутке $[\frac{5\pi}{2}, \frac{7\pi}{2}]$.

б) Исследуем промежуток $[-\frac{7\pi}{6}, \frac{\pi}{6}]$.

Найдем точки, в которых производная $y' = \cos x$ равна нулю и которые принадлежат данному промежутку. Это точки вида $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$.При $k=-1$, получаем $x = \frac{\pi}{2} - \pi = -\frac{\pi}{2}$.Поскольку $-\frac{7\pi}{6} < -\frac{\pi}{2} < \frac{\pi}{6}$, эта точка делит наш промежуток на два.

1. Промежуток $[-\frac{7\pi}{6}, -\frac{\pi}{2}]$. Возьмем пробную точку $x = -\pi$, которая лежит левее $-\frac{\pi}{2}$. $\cos(-\pi) = -1 < 0$. Значит, на этом промежутке $y' = \cos x \le 0$ и функция убывает.
2. Промежуток $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{6}]$. Этот промежуток является частью интервала возрастания $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$. На этом промежутке $y' = \cos x \ge 0$, значит, функция возрастает.

Ответ: функция убывает на промежутке $[-\frac{7\pi}{6}, -\frac{\pi}{2}]$ и возрастает на промежутке $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{6}]$.

в) Исследуем промежуток $(\frac{11\pi}{3}, \frac{25\pi}{6})$.

Упростим концы промежутка, вычтя период $4\pi = 2 \cdot 2\pi$:$\frac{11\pi}{3} = \frac{12\pi - \pi}{3} = 4\pi - \frac{\pi}{3}$.$\frac{25\pi}{6} = \frac{24\pi + \pi}{6} = 4\pi + \frac{\pi}{6}$.Исследование монотонности на промежутке $(\frac{11\pi}{3}, \frac{25\pi}{6})$ эквивалентно исследованию на промежутке $(-\frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{6})$.

Промежуток $(-\frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{6})$ полностью содержится в промежутке возрастания $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$, на котором $y' = \cos x > 0$. Следовательно, функция $y = \sin x$ возрастает на всем заданном промежутке.

Ответ: функция возрастает на всем промежутке $(\frac{11\pi}{3}, \frac{25\pi}{6})$.

г) Исследуем промежуток $(\frac{\pi}{3}, \frac{7\pi}{3})$.

Длина промежутка равна $\frac{7\pi}{3} - \frac{\pi}{3} = \frac{6\pi}{3} = 2\pi$.Найдем точки экстремума ($y' = \cos x = 0$) внутри этого промежутка.$x = \frac{\pi}{2} + \pi k$.При $k=0$, $x = \frac{\pi}{2}$. Точка $\frac{\pi}{2}$ принадлежит промежутку $(\frac{\pi}{3}, \frac{7\pi}{3})$.При $k=1$, $x = \frac{3\pi}{2}$. Точка $\frac{3\pi}{2}$ принадлежит промежутку $(\frac{\pi}{3}, \frac{7\pi}{3})$.Эти точки делят заданный промежуток на три части.

1. Промежуток $(\frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{2}]$. На этом промежутке $y' = \cos x > 0$, так как он является частью интервала $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$. Функция возрастает.
2. Промежуток $[\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}]$. Это стандартный промежуток убывания, на нем $y' = \cos x \le 0$. Функция убывает.
3. Промежуток $[\frac{3\pi}{2}, \frac{7\pi}{3})$. Этот промежуток является частью интервала возрастания $[\frac{3\pi}{2}, \frac{5\pi}{2}]$. На нем $y' = \cos x \ge 0$. Функция возрастает.

Ответ: функция возрастает на промежутках $(\frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{2}]$ и $[\frac{3\pi}{2}, \frac{7\pi}{3})$, убывает на промежутке $[\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}]$.