Номер 16.12, страница 103, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

16.12. a) $y = \sin \left(x + \frac{2\pi}{3}\right) + \frac{1}{2}$;

б) $y = -\sin \left(x - \frac{\pi}{6}\right) + 2$;

в) $y = \sin (x - \pi) - 1$;

г) $y = -\sin \left(x + \frac{\pi}{2}\right) - 2$.

а) Для построения графика функции $y = \sin\left(x + \frac{2\pi}{3}\right) + \frac{1}{2}$ необходимо выполнить последовательные преобразования графика основной функции $y = \sin(x)$. Сначала выполняется сдвиг графика $y = \sin(x)$ вдоль оси абсцисс на $\frac{2\pi}{3}$ единиц влево, в результате чего получается график функции $y_1 = \sin\left(x + \frac{2\pi}{3}\right)$. Затем полученный график сдвигается вдоль оси ординат на $\frac{1}{2}$ единицы вверх. Таким образом, искомый график является результатом параллельного переноса графика $y = \sin(x)$ на вектор $\vec{v} = \left(-\frac{2\pi}{3}, \frac{1}{2}\right)$.

Ответ: График функции $y = \sin\left(x + \frac{2\pi}{3}\right) + \frac{1}{2}$ получается из графика $y = \sin(x)$ параллельным переносом на $\frac{2\pi}{3}$ влево по оси $Ox$ и на $\frac{1}{2}$ вверх по оси $Oy$.

б) График функции $y = -\sin\left(x - \frac{\pi}{6}\right) + 2$ получается из графика $y = \sin(x)$ в несколько шагов. Во-первых, сдвигаем график $y = \sin(x)$ на $\frac{\pi}{6}$ единиц вправо по оси $Ox$, получая график $y_1 = \sin\left(x - \frac{\pi}{6}\right)$. Во-вторых, выполняем симметричное отражение графика $y_1$ относительно оси абсцисс, что дает нам $y_2 = -\sin\left(x - \frac{\pi}{6}\right)$. Наконец, сдвигаем график $y_2$ на $2$ единицы вверх по оси $Oy$, чтобы получить итоговый график $y = -\sin\left(x - \frac{\pi}{6}\right) + 2$.

Ответ: График функции $y = -\sin\left(x - \frac{\pi}{6}\right) + 2$ получается из графика $y = \sin(x)$ сдвигом на $\frac{\pi}{6}$ вправо по оси $Ox$, затем симметричным отражением относительно оси $Ox$, и затем сдвигом на $2$ вверх по оси $Oy$.

в) Чтобы построить график функции $y = \sin(x - \pi) - 1$, нужно преобразовать график $y = \sin(x)$. Сначала сдвигаем график $y = \sin(x)$ на $\pi$ единиц вправо вдоль оси $Ox$, получая $y_1 = \sin(x - \pi)$. Затем сдвигаем полученный график на $1$ единицу вниз вдоль оси $Oy$. Это дает искомый график. Стоит отметить, что используя формулу приведения $\sin(x - \pi) = -\sin(x)$, исходную функцию можно записать как $y = -\sin(x) - 1$. Её график получается из $y = \sin(x)$ отражением относительно оси $Ox$ и сдвигом на $1$ единицу вниз. Оба способа построения приводят к одному и тому же результату.

Ответ: График функции $y = \sin(x - \pi) - 1$ получается из графика $y = \sin(x)$ параллельным переносом на $\pi$ вправо по оси $Ox$ и на $1$ вниз по оси $Oy$.

г) Построение графика функции $y = -\sin\left(x + \frac{\pi}{2}\right) - 2$ начинается с графика $y = \sin(x)$. Первым шагом является сдвиг графика $y = \sin(x)$ на $\frac{\pi}{2}$ единиц влево по оси $Ox$, что дает график $y_1 = \sin\left(x + \frac{\pi}{2}\right)$. Далее, этот график отражается симметрично относительно оси $Ox$, в результате чего мы получаем $y_2 = -\sin\left(x + \frac{\pi}{2}\right)$. Заключительный шаг — сдвиг графика $y_2$ на $2$ единицы вниз по оси $Oy$. Также можно использовать формулу приведения $\sin\left(x + \frac{\pi}{2}\right) = \cos(x)$, тогда функция примет вид $y = -\cos(x) - 2$. Её график можно получить из графика $y=\cos(x)$ отражением относительно оси $Ox$ и сдвигом на 2 единицы вниз.

Ответ: График функции $y = -\sin\left(x + \frac{\pi}{2}\right) - 2$ получается из графика $y = \sin(x)$ сдвигом на $\frac{\pi}{2}$ влево по оси $Ox$, затем симметричным отражением относительно оси $Ox$, и затем сдвигом на $2$ вниз по оси $Oy$.