Номер 16.6, страница 102, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

16.6. a) $f(x) = x + \sin x$;

В) $f(x) = \frac{x^2 \sin x}{x^2 - 9}$;

б) $f(x) = \frac{\sin^2 x}{x^2 - 1}$;

Г) $f(x) = \sin^2 x - x^4$.

а) $f(x) = x + \sin x$

Для исследования функции на четность необходимо найти ее область определения и проверить выполнение равенств $f(-x) = f(x)$ (для четной функции) или $f(-x) = -f(x)$ (для нечетной функции).

Область определения функции $D(f)$ — все действительные числа, то есть $D(f) = (-\infty; +\infty)$. Эта область симметрична относительно нуля.

Найдем значение функции для аргумента $-x$:

$f(-x) = (-x) + \sin(-x)$

Используя свойство нечетности функции синус, $\sin(-x) = -\sin x$, получаем:

$f(-x) = -x - \sin x = -(x + \sin x)$

Поскольку $f(x) = x + \sin x$, то $f(-x) = -f(x)$. Следовательно, функция является нечетной.

Ответ: функция нечетная.

б) $f(x) = \frac{\sin^2 x}{x^2 - 1}$

Найдем область определения функции. Знаменатель дроби не может быть равен нулю: $x^2 - 1 \neq 0$, что означает $x^2 \neq 1$, то есть $x \neq 1$ и $x \neq -1$. Область определения $D(f) = (-\infty; -1) \cup (-1; 1) \cup (1; +\infty)$ является симметричной относительно нуля.

Найдем значение функции для аргумента $-x$:

$f(-x) = \frac{\sin^2(-x)}{(-x)^2 - 1}$

Используем свойства функций: $\sin^2(-x) = (\sin(-x))^2 = (-\sin x)^2 = \sin^2 x$ и $(-x)^2 = x^2$. Подставим эти выражения:

$f(-x) = \frac{\sin^2 x}{x^2 - 1}$

Таким образом, $f(-x) = f(x)$. Следовательно, функция является четной.

Ответ: функция четная.

в) $f(x) = \frac{x^2 \sin x}{x^2 - 9}$

Найдем область определения функции. Знаменатель дроби не может быть равен нулю: $x^2 - 9 \neq 0$, что означает $x^2 \neq 9$, то есть $x \neq 3$ и $x \neq -3$. Область определения $D(f) = (-\infty; -3) \cup (-3; 3) \cup (3; +\infty)$ является симметричной относительно нуля.

Найдем значение функции для аргумента $-x$:

$f(-x) = \frac{(-x)^2 \sin(-x)}{(-x)^2 - 9}$

Используя свойства функций: $(-x)^2 = x^2$ и $\sin(-x) = -\sin x$, получаем:

$f(-x) = \frac{x^2(-\sin x)}{x^2 - 9} = - \frac{x^2 \sin x}{x^2 - 9}$

Таким образом, $f(-x) = -f(x)$. Следовательно, функция является нечетной.

Ответ: функция нечетная.

г) $f(x) = \sin^2 x - x^4$

Область определения функции $D(f)$ — все действительные числа, $D(f) = (-\infty; +\infty)$. Эта область симметрична относительно нуля.

Найдем значение функции для аргумента $-x$:

$f(-x) = \sin^2(-x) - (-x)^4$

Используем свойства функций: $\sin^2(-x) = (\sin(-x))^2 = (-\sin x)^2 = \sin^2 x$ и $(-x)^4 = x^4$.

$f(-x) = \sin^2 x - x^4$

Таким образом, $f(-x) = f(x)$. Следовательно, функция является четной.

Ответ: функция четная.