Номер 16.4, страница 102, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

16.4. Найдите наименьшее и наибольшее значения функции

$y = \sin x:$

а) на отрезке $[\frac{\pi}{4}; \frac{2\pi}{3}];$

б) на луче $[\frac{\pi}{4}; +\infty);$

в) на интервале $(-\frac{3\pi}{2}; \frac{3\pi}{4});$

г) на полуинтервале $(-\pi; \frac{\pi}{3}].$

а) на отрезке $[\frac{\pi}{4}; \frac{2\pi}{3}]$
Для нахождения наименьшего и наибольшего значений непрерывной функции $y = \sin x$ на замкнутом отрезке, необходимо найти ее значения на концах отрезка и в критических точках, принадлежащих этому отрезку.
1. Значения на концах отрезка:
$y(\frac{\pi}{4}) = \sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$
$y(\frac{2\pi}{3}) = \sin(\frac{2\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$
2. Поиск критических точек. Производная функции $y' = (\sin x)' = \cos x$. Критические точки находятся из уравнения $\cos x = 0$, откуда $x = \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.
В отрезок $[\frac{\pi}{4}; \frac{2\pi}{3}]$ попадает только точка $x = \frac{\pi}{2}$.
3. Значение функции в критической точке: $y(\frac{\pi}{2}) = \sin(\frac{\pi}{2}) = 1$.
4. Сравниваем полученные значения: $\frac{\sqrt{2}}{2}$, $\frac{\sqrt{3}}{2}$ и $1$.
Так как $1 > \frac{\sqrt{3}}{2} > \frac{\sqrt{2}}{2}$, то наибольшее значение функции равно $1$, а наименьшее — $\frac{\sqrt{2}}{2}$.
Ответ: наименьшее значение $\frac{\sqrt{2}}{2}$, наибольшее значение $1$.

б) на луче $[\frac{\pi}{4}; +\infty)$
Область значений функции $y = \sin x$ — это отрезок $[-1, 1]$. Это означает, что для любого $x$ выполняется неравенство $-1 \le \sin x \le 1$.
Необходимо проверить, достигаются ли эти значения на заданном луче.
Наибольшее значение $1$ функция принимает в точках $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$. Например, при $k=0$ точка $x = \frac{\pi}{2}$ принадлежит лучу $[\frac{\pi}{4}; +\infty)$.
Наименьшее значение $-1$ функция принимает в точках $x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$. Например, при $k=1$ точка $x = \frac{3\pi}{2}$ принадлежит лучу $[\frac{\pi}{4}; +\infty)$.
Следовательно, на данном луче функция достигает своих глобальных наименьшего и наибольшего значений.
Ответ: наименьшее значение $-1$, наибольшее значение $1$.

в) на интервале $(-\frac{3\pi}{2}; \frac{3\pi}{4})$
Область значений функции $y = \sin x$ — это отрезок $[-1, 1]$. Проверим, достигаются ли значения $-1$ и $1$ на данном интервале.
Уравнение $\sin x = 1$ имеет решения $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$. При $k=0$ получаем $x = \frac{\pi}{2}$. Эта точка принадлежит интервалу $(-\frac{3\pi}{2}; \frac{3\pi}{4})$, так как $-\frac{3}{2}\pi < \frac{1}{2}\pi < \frac{3}{4}\pi$. Таким образом, наибольшее значение функции на интервале равно $1$.
Уравнение $\sin x = -1$ имеет решения $x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$. При $k=0$ получаем $x = -\frac{\pi}{2}$. Эта точка принадлежит интервалу $(-\frac{3\pi}{2}; \frac{3\pi}{4})$, так как $-\frac{3}{2}\pi < -\frac{1}{2}\pi < \frac{3}{4}\pi$. Таким образом, наименьшее значение функции на интервале равно $-1$.
Ответ: наименьшее значение $-1$, наибольшее значение $1$.

г) на полуинтервале $(-\pi; \frac{\pi}{3}]$
Исследуем поведение функции $y = \sin x$ на данном полуинтервале.
1. Значение на правом (включенном) конце: $y(\frac{\pi}{3}) = \sin(\frac{\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
2. Поведение на левом (исключенном) конце: $\lim_{x \to -\pi^+} \sin x = \sin(-\pi) = 0$. Значение $0$ не достигается в этой точке.
3. Поиск критических точек. Производная $y' = \cos x$. Уравнение $\cos x = 0$ имеет корни $x = \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$. В интервал $(-\pi; \frac{\pi}{3}]$ попадает только корень $x = -\frac{\pi}{2}$ (при $k=-1$).
4. Значение функции в критической точке: $y(-\frac{\pi}{2}) = \sin(-\frac{\pi}{2}) = -1$.
5. Сравниваем все полученные значения (значение в критической точке, на конце отрезка и предел): $-1$, $\frac{\sqrt{3}}{2}$ и $0$.
На интервале $(-\pi, -\frac{\pi}{2}]$ функция убывает от $0$ до $-1$. На отрезке $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{3}]$ функция возрастает от $-1$ до $\frac{\sqrt{3}}{2}$.
Наименьшее значение, достигаемое на интервале, равно $-1$. Наибольшее значение равно $\frac{\sqrt{3}}{2}$.
Ответ: наименьшее значение $-1$, наибольшее значение $\frac{\sqrt{3}}{2}$.