Номер 16.5, страница 102, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

Исследуйте функцию на чётность:

16.5. а) $f(x) = x^5 \sin\frac{x}{2}$;

б) $f(x) = x^3 \sin x^2$;

в) $f(x) = \frac{2 \sin \frac{x}{2}}{x^3}$;

г) $f(x) = x^3 - \sin x$.

а) $f(x) = x^5 \sin\frac{x}{2}$

Область определения функции $D(f) = (-\infty; +\infty)$ является симметричной относительно начала координат.

Найдем значение функции для аргумента $-x$:

$f(-x) = (-x)^5 \sin\frac{-x}{2}$

Используя свойства степенной функции с нечётным показателем $((-a)^n = -a^n$ для нечётного $n)$ и нечётность функции синус $(\sin(-a) = -\sin a)$, получаем:

$f(-x) = (-x^5) \cdot (-\sin\frac{x}{2}) = x^5 \sin\frac{x}{2}$

Сравниваем полученное выражение с исходной функцией: $f(-x) = f(x)$.

Так как область определения симметрична и выполняется равенство $f(-x) = f(x)$, функция является чётной.

Ответ: функция чётная.

б) $f(x) = x^3 \sin x^2$

Область определения функции $D(f) = (-\infty; +\infty)$ является симметричной относительно начала координат.

Найдем значение функции для аргумента $-x$:

$f(-x) = (-x)^3 \sin ((-x)^2)$

Используя свойства степенных функций с нечётным $((-a)^3 = -a^3)$ и чётным $((-a)^2 = a^2)$ показателями, получаем:

$f(-x) = (-x^3) \cdot \sin(x^2) = - (x^3 \sin x^2)$

Сравниваем полученное выражение с исходной функцией: $f(-x) = -f(x)$.

Так как область определения симметрична и выполняется равенство $f(-x) = -f(x)$, функция является нечётной.

Ответ: функция нечётная.

в) $f(x) = \frac{2 \sin\frac{x}{2}}{x^3}$

Область определения функции $D(f) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$, так как знаменатель не может быть равен нулю. Эта область является симметричной относительно начала координат.

Найдем значение функции для аргумента $-x$:

$f(-x) = \frac{2 \sin\frac{-x}{2}}{(-x)^3}$

Используя нечётность функции синус и степенной функции с нечётным показателем, получаем:

$f(-x) = \frac{2 (-\sin\frac{x}{2})}{-x^3} = \frac{-2 \sin\frac{x}{2}}{-x^3} = \frac{2 \sin\frac{x}{2}}{x^3}$

Сравниваем полученное выражение с исходной функцией: $f(-x) = f(x)$.

Так как область определения симметрична и выполняется равенство $f(-x) = f(x)$, функция является чётной.

Ответ: функция чётная.

г) $f(x) = x^3 - \sin x$

Область определения функции $D(f) = (-\infty; +\infty)$ является симметричной относительно начала координат.

Найдем значение функции для аргумента $-x$:

$f(-x) = (-x)^3 - \sin(-x)$

Функция $y=x^3$ является нечётной, то есть $(-x)^3 = -x^3$. Функция $y=\sin x$ также является нечётной, то есть $\sin(-x) = -\sin x$.

$f(-x) = (-x^3) - (-\sin x) = -x^3 + \sin x = -(x^3 - \sin x)$

Сравниваем полученное выражение с исходной функцией: $f(-x) = -f(x)$.

Так как область определения симметрична и выполняется равенство $f(-x) = -f(x)$, функция является нечётной. (Также можно отметить, что это разность двух нечётных функций, которая всегда является нечётной функцией).

Ответ: функция нечётная.