Номер 15.24, страница 101, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

15.24. Использовав равнобедренный треугольник с углом $36^\circ$ при вершине, вычислите $\sin 18^\circ$, $\cos 18^\circ$, $\sin 36^\circ$, $\cos 36^\circ$.

Указание. Проведите биссектрису угла при основании треугольника.

Рассмотрим равнобедренный треугольник $ABC$ с углом при вершине $\angle BAC = 36^{\circ}$. Углы при основании равны: $\angle ABC = \angle ACB = (180^{\circ} - 36^{\circ}) / 2 = 72^{\circ}$.

Следуя указанию, проведем биссектрису $BD$ угла при основании $\angle ABC$. Она делит угол $\angle ABC$ на два угла: $\angle ABD = \angle DBC = 72^{\circ} / 2 = 36^{\circ}$.

Рассмотрим полученные треугольники:

1. В треугольнике $ABD$ имеем $\angle BAD = 36^{\circ}$ и $\angle ABD = 36^{\circ}$. Следовательно, треугольник $ABD$ является равнобедренным, и его боковые стороны равны: $AD = BD$.

2. В треугольнике $BDC$ имеем $\angle DBC = 36^{\circ}$ и $\angle BCD = 72^{\circ}$. Третий угол $\angle BDC = 180^{\circ} - 36^{\circ} - 72^{\circ} = 72^{\circ}$. Следовательно, треугольник $BDC$ также является равнобедренным, и его боковые стороны равны: $BD = BC$.

Из этих двух пунктов следует равенство отрезков: $AD = BD = BC$.

Треугольник $ABC$ (с углами 36°, 72°, 72°) и треугольник $BDC$ (с углами 36°, 72°, 72°) подобны по трем углам.

Обозначим длину боковой стороны исходного треугольника $AB = AC = b$ и длину его основания $BC = a$.Тогда из установленных равенств имеем $AD = BD = BC = a$.Отрезок $DC$ можно выразить как $DC = AC - AD = b - a$.Из подобия треугольников $ABC$ и $BDC$ следует пропорциональность соответствующих сторон:

$\frac{AC}{BC} = \frac{BC}{DC}$

Подставим наши обозначения:

$\frac{b}{a} = \frac{a}{b-a}$

Применяя основное свойство пропорции, получаем:

$b(b-a) = a^2$

$b^2 - ab - a^2 = 0$

Разделим обе части уравнения на $a^2$ (так как $a$, будучи длиной стороны, не равно нулю):

$(\frac{b}{a})^2 - (\frac{b}{a}) - 1 = 0$

Пусть $x = \frac{b}{a}$. Решим квадратное уравнение $x^2 - x - 1 = 0$ относительно $x$:

$x = \frac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2 - 4(1)(-1)}}{2(1)} = \frac{1 \pm \sqrt{1+4}}{2} = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}$

Поскольку $x$ представляет собой отношение длин сторон треугольника, оно должно быть положительным. Следовательно, выбираем корень со знаком плюс:

$\frac{b}{a} = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$

Теперь, имея это соотношение, мы можем вычислить требуемые тригонометрические значения.

sin 18°

Для вычисления $\sin 18^{\circ}$ опустим высоту $AM$ из вершины $A$ на основание $BC$ в треугольнике $ABC$. В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является также биссектрисой и медианой. Следовательно, $\angle BAM = \frac{1}{2} \angle BAC = \frac{36^{\circ}}{2} = 18^{\circ}$ и $BM = \frac{1}{2}BC = \frac{a}{2}$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABM$. По определению синуса: $\sin(\angle BAM) = \frac{BM}{AB}$.$\sin 18^{\circ} = \frac{a/2}{b} = \frac{a}{2b} = \frac{1}{2(b/a)}$.Подставим найденное значение $\frac{b}{a}$:$\sin 18^{\circ} = \frac{1}{2 \cdot \frac{1 + \sqrt{5}}{2}} = \frac{1}{1 + \sqrt{5}}$.Избавимся от иррациональности в знаменателе, домножив числитель и знаменатель на сопряженное выражение $(\sqrt{5} - 1)$:$\sin 18^{\circ} = \frac{1}{1 + \sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5} - 1}{\sqrt{5} - 1} = \frac{\sqrt{5} - 1}{5 - 1} = \frac{\sqrt{5} - 1}{4}$.
Ответ: $\sin 18^{\circ} = \frac{\sqrt{5} - 1}{4}$.

cos 18°

Для вычисления $\cos 18^{\circ}$ воспользуемся основным тригонометрическим тождеством $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$.$\cos^2 18^{\circ} = 1 - \sin^2 18^{\circ}$.Сначала найдем квадрат синуса $18^{\circ}$:$\sin^2 18^{\circ} = \left(\frac{\sqrt{5} - 1}{4}\right)^2 = \frac{(\sqrt{5})^2 - 2\sqrt{5} + 1^2}{16} = \frac{5 - 2\sqrt{5} + 1}{16} = \frac{6 - 2\sqrt{5}}{16} = \frac{3 - \sqrt{5}}{8}$.Теперь подставим это значение в формулу для квадрата косинуса:$\cos^2 18^{\circ} = 1 - \frac{3 - \sqrt{5}}{8} = \frac{8 - (3 - \sqrt{5})}{8} = \frac{5 + \sqrt{5}}{8}$.Поскольку угол $18^{\circ}$ находится в первой четверти, его косинус положителен. Извлечем квадратный корень:$\cos 18^{\circ} = \sqrt{\frac{5 + \sqrt{5}}{8}} = \frac{\sqrt{5 + \sqrt{5}}}{\sqrt{8}} = \frac{\sqrt{5 + \sqrt{5}}}{2\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}\sqrt{5 + \sqrt{5}}}{4} = \frac{\sqrt{10 + 2\sqrt{5}}}{4}$.
Ответ: $\cos 18^{\circ} = \frac{\sqrt{10 + 2\sqrt{5}}}{4}$.

sin 36°

Для вычисления $\sin 36^{\circ}$ используем формулу синуса двойного угла $\sin(2\alpha) = 2\sin\alpha\cos\alpha$. Положим $\alpha = 18^{\circ}$.$\sin 36^{\circ} = 2\sin 18^{\circ}\cos 18^{\circ}$.Подставим ранее найденные значения $\sin 18^{\circ}$ и $\cos 18^{\circ}$:$\sin 36^{\circ} = 2 \cdot \frac{\sqrt{5} - 1}{4} \cdot \frac{\sqrt{10 + 2\sqrt{5}}}{4} = \frac{(\sqrt{5} - 1)\sqrt{10 + 2\sqrt{5}}}{8}$.Чтобы упростить это выражение, внесем множитель $(\sqrt{5} - 1)$ под знак корня:$(\sqrt{5} - 1)\sqrt{10 + 2\sqrt{5}} = \sqrt{(\sqrt{5} - 1)^2 (10 + 2\sqrt{5})} = \sqrt{(6 - 2\sqrt{5})(10 + 2\sqrt{5})}$.Раскроем скобки под корнем: $\sqrt{60 + 12\sqrt{5} - 20\sqrt{5} - 20} = \sqrt{40 - 8\sqrt{5}} = \sqrt{4(10 - 2\sqrt{5})} = 2\sqrt{10 - 2\sqrt{5}}$.Таким образом, $\sin 36^{\circ} = \frac{2\sqrt{10 - 2\sqrt{5}}}{8} = \frac{\sqrt{10 - 2\sqrt{5}}}{4}$.
Ответ: $\sin 36^{\circ} = \frac{\sqrt{10 - 2\sqrt{5}}}{4}$.

cos 36°

Для вычисления $\cos 36^{\circ}$ используем формулу косинуса двойного угла $\cos(2\alpha) = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha$. Положим $\alpha = 18^{\circ}$.$\cos 36^{\circ} = \cos^2 18^{\circ} - \sin^2 18^{\circ}$.Мы уже вычислили значения $\sin^2 18^{\circ} = \frac{3 - \sqrt{5}}{8}$ и $\cos^2 18^{\circ} = \frac{5 + \sqrt{5}}{8}$.Подставим их в формулу:$\cos 36^{\circ} = \frac{5 + \sqrt{5}}{8} - \frac{3 - \sqrt{5}}{8} = \frac{5 + \sqrt{5} - 3 + \sqrt{5}}{8} = \frac{2 + 2\sqrt{5}}{8} = \frac{2(1 + \sqrt{5})}{8} = \frac{1 + \sqrt{5}}{4}$.
Ответ: $\cos 36^{\circ} = \frac{1 + \sqrt{5}}{4}$.