Номер 15.19, страница 100, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

15.19. Докажите, что верно равенство:

a) $(4 \sin 30^\circ + \operatorname{tg} 60^\circ)\left(\frac{1}{\cos (-60^\circ)} + \operatorname{ctg} 150^\circ\right) = 2 \sin 150^\circ;$

б) $(\operatorname{ctg} 210^\circ + 2 \cos 120^\circ)(\operatorname{tg} 420^\circ - 2 \sin 330^\circ) = 4 \cos^2 315^\circ.$

а)

Для доказательства равенства преобразуем его левую и правую части по отдельности.

Левая часть: $(4\sin 30^\circ + \operatorname{tg} 60^\circ) \left( \frac{1}{\cos(-60^\circ)} + \operatorname{ctg} 150^\circ \right)$.

Найдем значения тригонометрических функций, входящих в выражение:

$\sin 30^\circ = \frac{1}{2}$

$\operatorname{tg} 60^\circ = \sqrt{3}$

$\cos(-60^\circ) = \cos(60^\circ) = \frac{1}{2}$ (так как функция косинуса является четной).

$\operatorname{ctg} 150^\circ = \operatorname{ctg}(180^\circ - 30^\circ) = -\operatorname{ctg} 30^\circ = -\sqrt{3}$ (используя формулы приведения).

Подставим найденные значения в левую часть:

$(4 \cdot \frac{1}{2} + \sqrt{3}) \left( \frac{1}{\frac{1}{2}} + (-\sqrt{3}) \right) = (2 + \sqrt{3})(2 - \sqrt{3})$.

Воспользуемся формулой разности квадратов $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$:

$(2 + \sqrt{3})(2 - \sqrt{3}) = 2^2 - (\sqrt{3})^2 = 4 - 3 = 1$.

Правая часть: $2\sin 150^\circ$.

Найдем значение выражения, используя формулу приведения:

$2\sin 150^\circ = 2\sin(180^\circ - 30^\circ) = 2\sin 30^\circ = 2 \cdot \frac{1}{2} = 1$.

Мы получили, что левая часть равна $1$ и правая часть равна $1$. Таким образом, $1 = 1$. Равенство верно.

Ответ: Равенство доказано.

б)

Для доказательства равенства также преобразуем его левую и правую части по отдельности.

Левая часть: $(\operatorname{ctg} 210^\circ + 2\cos 120^\circ)(\operatorname{tg} 420^\circ - 2\sin 330^\circ)$.

Найдем значения тригонометрических функций, используя формулы приведения и периодичность:

$\operatorname{ctg} 210^\circ = \operatorname{ctg}(180^\circ + 30^\circ) = \operatorname{ctg} 30^\circ = \sqrt{3}$.

$\cos 120^\circ = \cos(180^\circ - 60^\circ) = -\cos 60^\circ = -\frac{1}{2}$.

$\operatorname{tg} 420^\circ = \operatorname{tg}(360^\circ + 60^\circ) = \operatorname{tg} 60^\circ = \sqrt{3}$.

$\sin 330^\circ = \sin(360^\circ - 30^\circ) = -\sin 30^\circ = -\frac{1}{2}$.

Подставим найденные значения в левую часть:

$(\sqrt{3} + 2 \cdot (-\frac{1}{2}))(\sqrt{3} - 2 \cdot (-\frac{1}{2})) = (\sqrt{3} - 1)(\sqrt{3} + 1)$.

Снова применим формулу разности квадратов:

$(\sqrt{3} - 1)(\sqrt{3} + 1) = (\sqrt{3})^2 - 1^2 = 3 - 1 = 2$.

Правая часть: $4\cos^2 315^\circ$.

Найдем значение выражения:

$\cos 315^\circ = \cos(360^\circ - 45^\circ) = \cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Теперь вычислим правую часть:

$4\cos^2 315^\circ = 4 \cdot \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 = 4 \cdot \frac{2}{4} = 2$.

Мы получили, что левая часть равна $2$ и правая часть равна $2$. Таким образом, $2 = 2$. Равенство верно.

Ответ: Равенство доказано.