Номер 15.16, страница 100, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

Вычислите:

15.16. a) $\sin^2 733^\circ + \cos^2 347^\circ$;

б) $2 \cos^2 395^\circ + \sin^2 1000^\circ + 2 \sin^2 755^\circ + \cos^2 800^\circ$.

a) Вычислим значение выражения $\sin^2 733^\circ + \cos^2 347^\circ$.
Для этого воспользуемся свойством периодичности тригонометрических функций ($T=360^\circ$), свойством четности косинуса и основным тригонометрическим тождеством.
1. Упростим аргументы функций, отбрасывая полные обороты в $360^\circ$:
$\sin(733^\circ) = \sin(2 \cdot 360^\circ + 13^\circ) = \sin(13^\circ)$.
$\cos(347^\circ) = \cos(360^\circ - 13^\circ) = \cos(-13^\circ)$.
2. Так как функция косинус является четной, то есть $\cos(-\alpha) = \cos(\alpha)$, имеем:
$\cos(-13^\circ) = \cos(13^\circ)$.
3. Подставим упрощенные значения в исходное выражение:
$\sin^2 733^\circ + \cos^2 347^\circ = \sin^2 13^\circ + \cos^2 13^\circ$.
4. Применим основное тригонометрическое тождество $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$:
$\sin^2 13^\circ + \cos^2 13^\circ = 1$.
Ответ: 1

б) Вычислим значение выражения $2\cos^2 395^\circ + \sin^2 1000^\circ + 2\sin^2 755^\circ + \cos^2 800^\circ$.
1. Сгруппируем слагаемые для удобства вычислений:
$(2\cos^2 395^\circ + 2\sin^2 755^\circ) + (\sin^2 1000^\circ + \cos^2 800^\circ) = 2(\cos^2 395^\circ + \sin^2 755^\circ) + (\sin^2 1000^\circ + \cos^2 800^\circ)$.
2. Упростим аргументы каждой функции, используя их периодичность ($T=360^\circ$):
$\cos 395^\circ = \cos(360^\circ + 35^\circ) = \cos 35^\circ$
$\sin 755^\circ = \sin(2 \cdot 360^\circ + 35^\circ) = \sin(720^\circ+35^\circ) = \sin 35^\circ$
$\sin 1000^\circ = \sin(2 \cdot 360^\circ + 280^\circ) = \sin(720^\circ+280^\circ) = \sin 280^\circ$
$\cos 800^\circ = \cos(2 \cdot 360^\circ + 80^\circ) = \cos(720^\circ+80^\circ) = \cos 80^\circ$
3. Подставим упрощенные значения в сгруппированное выражение:
$2(\cos^2 35^\circ + \sin^2 35^\circ) + (\sin^2 280^\circ + \cos^2 80^\circ)$.
4. Вычислим значение каждой из двух частей.
Первая часть: $2(\cos^2 35^\circ + \sin^2 35^\circ)$. Согласно основному тригонометрическому тождеству, $\cos^2 35^\circ + \sin^2 35^\circ = 1$. Таким образом, первая часть равна $2 \cdot 1 = 2$.
Вторая часть: $\sin^2 280^\circ + \cos^2 80^\circ$. Применим формулу приведения для $\sin 280^\circ$:
$\sin 280^\circ = \sin(360^\circ - 80^\circ) = -\sin 80^\circ$.
Тогда $\sin^2 280^\circ = (-\sin 80^\circ)^2 = \sin^2 80^\circ$.
Выражение для второй части принимает вид: $\sin^2 80^\circ + \cos^2 80^\circ$, что по основному тождеству равно 1.
5. Сложим результаты, полученные для обеих частей:
$2 + 1 = 3$.
Ответ: 3