Номер 15.12, страница 100, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

15.12. Докажите, что площадь выпуклого четырёхугольника равна половине произведения длин его диагоналей на синус угла между ними.

15.12.

Пусть дан выпуклый четырехугольник $ABCD$. Его диагонали $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $O$. Обозначим длины диагоналей как $d_1 = AC$ и $d_2 = BD$. Пусть угол между диагоналями, например $\angle AOB$, равен $\alpha$.

Диагонали разбивают четырехугольник на четыре треугольника: $\triangle AOB$, $\triangle BOC$, $\triangle COD$ и $\triangle DOA$. Площадь всего четырехугольника $S_{ABCD}$ равна сумме площадей этих четырех треугольников:

$S_{ABCD} = S_{\triangle AOB} + S_{\triangle BOC} + S_{\triangle COD} + S_{\triangle DOA}$

Как известно, площадь треугольника можно вычислить по формуле $S = \frac{1}{2}ab\sin\gamma$, где $a$ и $b$ – длины двух сторон треугольника, а $\gamma$ – угол между ними.

Рассмотрим углы, образованные при пересечении диагоналей в точке $O$:
$\angle AOB = \alpha$
$\angle BOC = 180^\circ - \alpha$ (как смежный с $\angle AOB$)
$\angle COD = \alpha$ (как вертикальный к $\angle AOB$)
$\angle DOA = 180^\circ - \alpha$ (как смежный с $\angle COD$ или вертикальный к $\angle BOC$)

Используя тригонометрическое тождество $\sin(180^\circ - \alpha) = \sin\alpha$, найдем площади каждого из четырех треугольников, на которые диагонали делят четырехугольник:

$S_{\triangle AOB} = \frac{1}{2} AO \cdot BO \cdot \sin(\angle AOB) = \frac{1}{2} AO \cdot BO \cdot \sin\alpha$

$S_{\triangle BOC} = \frac{1}{2} BO \cdot OC \cdot \sin(\angle BOC) = \frac{1}{2} BO \cdot OC \cdot \sin(180^\circ - \alpha) = \frac{1}{2} BO \cdot OC \cdot \sin\alpha$

$S_{\triangle COD} = \frac{1}{2} OC \cdot OD \cdot \sin(\angle COD) = \frac{1}{2} OC \cdot OD \cdot \sin\alpha$

$S_{\triangle DOA} = \frac{1}{2} OD \cdot AO \cdot \sin(\angle DOA) = \frac{1}{2} OD \cdot AO \cdot \sin(180^\circ - \alpha) = \frac{1}{2} OD \cdot AO \cdot \sin\alpha$

Теперь сложим площади этих треугольников:

$S_{ABCD} = \frac{1}{2} AO \cdot BO \sin\alpha + \frac{1}{2} BO \cdot OC \sin\alpha + \frac{1}{2} OC \cdot OD \sin\alpha + \frac{1}{2} OD \cdot AO \sin\alpha$

Вынесем общий множитель $\frac{1}{2}\sin\alpha$ за скобки:

$S_{ABCD} = \frac{1}{2}\sin\alpha (AO \cdot BO + BO \cdot OC + OC \cdot OD + OD \cdot AO)$

Сгруппируем слагаемые в скобках и вынесем общие множители для каждой группы:

$S_{ABCD} = \frac{1}{2}\sin\alpha \left( (AO \cdot BO + BO \cdot OC) + (OC \cdot OD + OD \cdot AO) \right) = \frac{1}{2}\sin\alpha \left( BO(AO + OC) + OD(AO + OC) \right)$

Теперь вынесем общий множитель $(AO + OC)$:

$S_{ABCD} = \frac{1}{2}\sin\alpha \left( (AO + OC)(BO + OD) \right)$

Поскольку отрезки, на которые точка $O$ делит диагонали, в сумме дают длины самих диагоналей ($AO + OC = AC = d_1$ и $BO + OD = BD = d_2$), мы можем подставить эти значения в формулу:

$S_{ABCD} = \frac{1}{2} (AC \cdot BD) \sin\alpha = \frac{1}{2} d_1 d_2 \sin\alpha$

Таким образом, мы доказали, что площадь выпуклого четырехугольника равна половине произведения длин его диагоналей на синус угла между ними. Что и требовалось доказать.

Ответ: Формула площади выпуклого четырехугольника: $S = \frac{1}{2} d_1 d_2 \sin\alpha$, где $S$ – площадь четырехугольника, $d_1$ и $d_2$ – длины его диагоналей, а $\alpha$ – угол между ними.