Номер 15.5, страница 99, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

Вычислите $ \sin \alpha $, $ \cos \alpha $, $ \operatorname{tg} \alpha $, $ \operatorname{ctg} \alpha $ для заданного значения угла $ \alpha $:

15.5. а) $ 90^\circ $;

б) $ 180^\circ $;

в) $ 270^\circ $;

г) $ 360^\circ $.

а) Для угла $\alpha = 90^\circ$

Для нахождения значений тригонометрических функций для угла $\alpha = 90^\circ$ воспользуемся единичной окружностью. Точка на единичной окружности, соответствующая углу $90^\circ$, находится на положительной части оси ординат (OY) и имеет координаты $(0, 1)$.

По определению, $\sin \alpha$ — это ордината (координата y) точки на единичной окружности, а $\cos \alpha$ — это абсцисса (координата x). Следовательно:

$\sin 90^\circ = 1$

$\cos 90^\circ = 0$

Тангенс и котангенс определяются по формулам $\tg \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}$ и $\ctg \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}$.

Вычисляем тангенс:

$\tg 90^\circ = \frac{\sin 90^\circ}{\cos 90^\circ} = \frac{1}{0}$

Так как деление на ноль не определено, $\tg 90^\circ$ не существует.

Вычисляем котангенс:

$\ctg 90^\circ = \frac{\cos 90^\circ}{\sin 90^\circ} = \frac{0}{1} = 0$

Ответ: $\sin 90^\circ = 1$, $\cos 90^\circ = 0$, $\tg 90^\circ$ не существует, $\ctg 90^\circ = 0$.

б) Для угла $\alpha = 180^\circ$

Точка на единичной окружности, соответствующая углу $180^\circ$, находится на отрицательной части оси абсцисс (OX) и имеет координаты $(-1, 0)$.

Следовательно:

$\sin 180^\circ = 0$

$\cos 180^\circ = -1$

Вычисляем тангенс:

$\tg 180^\circ = \frac{\sin 180^\circ}{\cos 180^\circ} = \frac{0}{-1} = 0$

Вычисляем котангенс:

$\ctg 180^\circ = \frac{\cos 180^\circ}{\sin 180^\circ} = \frac{-1}{0}$

Так как деление на ноль не определено, $\ctg 180^\circ$ не существует.

Ответ: $\sin 180^\circ = 0$, $\cos 180^\circ = -1$, $\tg 180^\circ = 0$, $\ctg 180^\circ$ не существует.

в) Для угла $\alpha = 270^\circ$

Точка на единичной окружности, соответствующая углу $270^\circ$, находится на отрицательной части оси ординат (OY) и имеет координаты $(0, -1)$.

Следовательно:

$\sin 270^\circ = -1$

$\cos 270^\circ = 0$

Вычисляем тангенс:

$\tg 270^\circ = \frac{\sin 270^\circ}{\cos 270^\circ} = \frac{-1}{0}$

Так как деление на ноль не определено, $\tg 270^\circ$ не существует.

Вычисляем котангенс:

$\ctg 270^\circ = \frac{\cos 270^\circ}{\sin 270^\circ} = \frac{0}{-1} = 0$

Ответ: $\sin 270^\circ = -1$, $\cos 270^\circ = 0$, $\tg 270^\circ$ не существует, $\ctg 270^\circ = 0$.

г) Для угла $\alpha = 360^\circ$

Угол в $360^\circ$ соответствует полному обороту, поэтому точка на единичной окружности для этого угла совпадает с точкой для угла $0^\circ$. Эта точка находится на положительной части оси абсцисс (OX) и имеет координаты $(1, 0)$.

Следовательно:

$\sin 360^\circ = 0$

$\cos 360^\circ = 1$

Вычисляем тангенс:

$\tg 360^\circ = \frac{\sin 360^\circ}{\cos 360^\circ} = \frac{0}{1} = 0$

Вычисляем котангенс:

$\ctg 360^\circ = \frac{\cos 360^\circ}{\sin 360^\circ} = \frac{1}{0}$

Так как деление на ноль не определено, $\ctg 360^\circ$ не существует.

Ответ: $\sin 360^\circ = 0$, $\cos 360^\circ = 1$, $\tg 360^\circ = 0$, $\ctg 360^\circ$ не существует.