Номер 14.37, страница 99, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

14.37. a) Дано: $f(x) = 2x^2 - 3x - 2$. Докажите, что $-f(\cos x) = 2\sin^2 x + 3\cos x.$

б) Дано: $f(x) = 5x^2 + x + 4$. Докажите, что $f(\cos x) = 9 + \cos x - 5\sin^2 x.$

а)

Чтобы доказать тождество, преобразуем его левую часть $-f(\cos x)$, используя заданную функцию $f(x) = 2x^2 - 3x - 2$.

1. Сначала найдем $f(\cos x)$, подставив $\cos x$ вместо $x$ в выражение для функции:

$f(\cos x) = 2(\cos x)^2 - 3(\cos x) - 2 = 2\cos^2 x - 3\cos x - 2$.

2. Теперь найдем выражение для $-f(\cos x)$, умножив полученное выражение на $-1$:

$-f(\cos x) = -(2\cos^2 x - 3\cos x - 2) = -2\cos^2 x + 3\cos x + 2$.

3. Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$, из которого выразим $\cos^2 x = 1 - \sin^2 x$. Подставим это в наше выражение:

$-2\cos^2 x + 3\cos x + 2 = -2(1 - \sin^2 x) + 3\cos x + 2$.

4. Раскроем скобки и упростим:

$-2 + 2\sin^2 x + 3\cos x + 2 = 2\sin^2 x + 3\cos x$.

Результат преобразования левой части совпадает с правой частью исходного равенства. Таким образом, тождество доказано.

Ответ: Что и требовалось доказать.

б)

Чтобы доказать тождество, преобразуем его левую часть $f(\cos x)$, используя заданную функцию $f(x) = 5x^2 + x + 4$.

1. Найдем $f(\cos x)$, подставив $\cos x$ вместо $x$ в выражение для функции:

$f(\cos x) = 5(\cos x)^2 + (\cos x) + 4 = 5\cos^2 x + \cos x + 4$.

2. Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$, откуда $\cos^2 x = 1 - \sin^2 x$. Подставим это в полученное выражение:

$5\cos^2 x + \cos x + 4 = 5(1 - \sin^2 x) + \cos x + 4$.

3. Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$5 - 5\sin^2 x + \cos x + 4 = (5+4) + \cos x - 5\sin^2 x = 9 + \cos x - 5\sin^2 x$.

Результат преобразования левой части совпадает с правой частью исходного равенства. Таким образом, тождество доказано.

Ответ: Что и требовалось доказать.