Страница 99, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

14.37. a) Дано: $f(x) = 2x^2 - 3x - 2$. Докажите, что $-f(\cos x) = 2\sin^2 x + 3\cos x.$

б) Дано: $f(x) = 5x^2 + x + 4$. Докажите, что $f(\cos x) = 9 + \cos x - 5\sin^2 x.$

а)

Чтобы доказать тождество, преобразуем его левую часть $-f(\cos x)$, используя заданную функцию $f(x) = 2x^2 - 3x - 2$.

1. Сначала найдем $f(\cos x)$, подставив $\cos x$ вместо $x$ в выражение для функции:

$f(\cos x) = 2(\cos x)^2 - 3(\cos x) - 2 = 2\cos^2 x - 3\cos x - 2$.

2. Теперь найдем выражение для $-f(\cos x)$, умножив полученное выражение на $-1$:

$-f(\cos x) = -(2\cos^2 x - 3\cos x - 2) = -2\cos^2 x + 3\cos x + 2$.

3. Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$, из которого выразим $\cos^2 x = 1 - \sin^2 x$. Подставим это в наше выражение:

$-2\cos^2 x + 3\cos x + 2 = -2(1 - \sin^2 x) + 3\cos x + 2$.

4. Раскроем скобки и упростим:

$-2 + 2\sin^2 x + 3\cos x + 2 = 2\sin^2 x + 3\cos x$.

Результат преобразования левой части совпадает с правой частью исходного равенства. Таким образом, тождество доказано.

Ответ: Что и требовалось доказать.

б)

Чтобы доказать тождество, преобразуем его левую часть $f(\cos x)$, используя заданную функцию $f(x) = 5x^2 + x + 4$.

1. Найдем $f(\cos x)$, подставив $\cos x$ вместо $x$ в выражение для функции:

$f(\cos x) = 5(\cos x)^2 + (\cos x) + 4 = 5\cos^2 x + \cos x + 4$.

2. Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$, откуда $\cos^2 x = 1 - \sin^2 x$. Подставим это в полученное выражение:

$5\cos^2 x + \cos x + 4 = 5(1 - \sin^2 x) + \cos x + 4$.

3. Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$5 - 5\sin^2 x + \cos x + 4 = (5+4) + \cos x - 5\sin^2 x = 9 + \cos x - 5\sin^2 x$.

Результат преобразования левой части совпадает с правой частью исходного равенства. Таким образом, тождество доказано.

Ответ: Что и требовалось доказать.

14.38. Дана функция $y = f(x)$, где $f(x) = x^2 + 1$. Докажите, что:

а) $f(\operatorname{tg} x) = \frac{1}{\cos^2 x};$

б) $f(\operatorname{ctg} x) = \frac{1}{\sin^2 x}.$

а)

Дана функция $f(x) = x^2 + 1$. Чтобы доказать требуемое равенство, найдем значение выражения $f(\text{tg } x)$. Для этого подставим в определение функции $\text{tg } x$ вместо переменной $x$:

$f(\text{tg } x) = (\text{tg } x)^2 + 1 = \text{tg}^2 x + 1$.

Теперь преобразуем полученное выражение. Используем определение тангенса $\text{tg } x = \frac{\sin x}{\cos x}$ и основное тригонометрическое тождество $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$.

$\text{tg}^2 x + 1 = \left(\frac{\sin x}{\cos x}\right)^2 + 1 = \frac{\sin^2 x}{\cos^2 x} + 1 = \frac{\sin^2 x}{\cos^2 x} + \frac{\cos^2 x}{\cos^2 x} = \frac{\sin^2 x + \cos^2 x}{\cos^2 x} = \frac{1}{\cos^2 x}$.

Таким образом, левая часть равенства $f(\text{tg } x)$ равна его правой части $\frac{1}{\cos^2 x}$. Равенство доказано.

Ответ: Доказано.

б)

Аналогично пункту а), найдем значение выражения $f(\text{ctg } x)$. Для этого подставим в определение функции $f(x) = x^2 + 1$ выражение $\text{ctg } x$ вместо переменной $x$:

$f(\text{ctg } x) = (\text{ctg } x)^2 + 1 = \text{ctg}^2 x + 1$.

Преобразуем полученное выражение, используя определение котангенса $\text{ctg } x = \frac{\cos x}{\sin x}$ и основное тригонометрическое тождество $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$.

$\text{ctg}^2 x + 1 = \left(\frac{\cos x}{\sin x}\right)^2 + 1 = \frac{\cos^2 x}{\sin^2 x} + 1 = \frac{\cos^2 x}{\sin^2 x} + \frac{\sin^2 x}{\sin^2 x} = \frac{\cos^2 x + \sin^2 x}{\sin^2 x} = \frac{1}{\sin^2 x}$.

Таким образом, левая часть равенства $f(\text{ctg } x)$ равна его правой части $\frac{1}{\sin^2 x}$. Равенство доказано.

Ответ: Доказано.

14.39. Сколько целых чисел содержится в области значений функции:

a) $y = \sqrt{8 - 27 \sin x - 4\sin^2 x};$

б) $y = \sqrt{4 + 24 \cos x - \sin^2 x}?$

а)

Чтобы найти область значений функции $y = \sqrt{8 - 27 \sin x - 4 \sin^2 x}$, необходимо найти множество значений подкоренного выражения. Обозначим подкоренное выражение как $f(t) = -4t^2 - 27t + 8$, где $t = \sin x$. Так как $-1 \le \sin x \le 1$, то переменная $t$ принимает значения из отрезка $[-1; 1]$.

Функция $f(t) = -4t^2 - 27t + 8$ является квадратичной параболой с ветвями, направленными вниз, так как коэффициент при $t^2$ отрицателен ($-4 < 0$). Найдем абсциссу вершины параболы: $t_v = -\frac{-27}{2 \cdot (-4)} = -\frac{27}{8} = -3.375$.

Вершина параболы $t_v = -3.375$ не принадлежит отрезку $[-1; 1]$. Поскольку ветви параболы направлены вниз, а вершина находится левее отрезка $[-1; 1]$, функция $f(t)$ на этом отрезке является убывающей. Следовательно, свое наибольшее значение она достигает в точке $t = -1$, а наименьшее — в точке $t = 1$.

Найдем эти значения: $f_{max} = f(-1) = -4(-1)^2 - 27(-1) + 8 = -4 + 27 + 8 = 31$. $f_{min} = f(1) = -4(1)^2 - 27(1) + 8 = -4 - 27 + 8 = -23$.

Таким образом, подкоренное выражение принимает значения на отрезке $[-23; 31]$. Однако, поскольку выражение находится под знаком квадратного корня, оно должно быть неотрицательным. Значит, возможные значения подкоренного выражения принадлежат отрезку $[0; 31]$.

Тогда область значений функции $y$ — это отрезок $[\sqrt{0}; \sqrt{31}]$, то есть $[0; \sqrt{31}]$. Оценим $\sqrt{31}$: $5^2 = 25$ и $6^2 = 36$, значит $5 < \sqrt{31} < 6$. Целые числа, принадлежащие отрезку $[0; \sqrt{31}]$, это $0, 1, 2, 3, 4, 5$. Всего 6 целых чисел.

Ответ: 6.

б)

Рассмотрим функцию $y = \sqrt{4 + 24 \cos x - \sin^2 x}$. Для нахождения области значений преобразуем подкоренное выражение, используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2 x = 1 - \cos^2 x$: $4 + 24 \cos x - (1 - \cos^2 x) = 4 + 24 \cos x - 1 + \cos^2 x = \cos^2 x + 24 \cos x + 3$.

Сделаем замену $t = \cos x$. Так как $-1 \le \cos x \le 1$, то $t \in [-1; 1]$. Рассмотрим квадратичную функцию $g(t) = t^2 + 24t + 3$ на отрезке $[-1; 1]$. Это парабола с ветвями, направленными вверх, так как коэффициент при $t^2$ положителен ($1 > 0$). Найдем абсциссу вершины параболы: $t_v = -\frac{24}{2 \cdot 1} = -12$.

Вершина параболы $t_v = -12$ не принадлежит отрезку $[-1; 1]$. Поскольку ветви параболы направлены вверх, а вершина находится левее отрезка $[-1; 1]$, функция $g(t)$ на этом отрезке является возрастающей. Следовательно, свое наименьшее значение она достигает в точке $t = -1$, а наибольшее — в точке $t = 1$.

Найдем эти значения: $g_{min} = g(-1) = (-1)^2 + 24(-1) + 3 = 1 - 24 + 3 = -20$. $g_{max} = g(1) = (1)^2 + 24(1) + 3 = 1 + 24 + 3 = 28$.

Подкоренное выражение принимает значения на отрезке $[-20; 28]$. Учитывая, что оно должно быть неотрицательным, его значения принадлежат отрезку $[0; 28]$.

Тогда область значений функции $y$ — это отрезок $[\sqrt{0}; \sqrt{28}]$, то есть $[0; \sqrt{28}]$. Оценим $\sqrt{28}$: $5^2 = 25$ и $6^2 = 36$, значит $5 < \sqrt{28} < 6$. Целые числа, принадлежащие отрезку $[0; \sqrt{28}]$, это $0, 1, 2, 3, 4, 5$. Всего 6 целых чисел.

Ответ: 6.

15.1. a) $120^\circ$;

б) $220^\circ$;

B) $300^\circ$;

г) $765^\circ$.

Для перевода градусной меры угла в радианную используется формула:

$ \alpha_{rad} = \alpha_{deg} \cdot \frac{\pi}{180^\circ} $

где $ \alpha_{rad} $ — угол в радианах, а $ \alpha_{deg} $ — угол в градусах.

а) Переведем $ 120^\circ $ в радианы:

$ 120^\circ \cdot \frac{\pi}{180^\circ} = \frac{120\pi}{180} = \frac{12\pi}{18} = \frac{2\pi}{3} $.

Ответ: $ \frac{2\pi}{3} $.

б) Переведем $ 220^\circ $ в радианы:

$ 220^\circ \cdot \frac{\pi}{180^\circ} = \frac{220\pi}{180} = \frac{22\pi}{18} = \frac{11\pi}{9} $.

Ответ: $ \frac{11\pi}{9} $.

в) Переведем $ 300^\circ $ в радианы:

$ 300^\circ \cdot \frac{\pi}{180^\circ} = \frac{300\pi}{180} = \frac{30\pi}{18} = \frac{5\pi}{3} $.

Ответ: $ \frac{5\pi}{3} $.

г) Переведем $ 765^\circ $ в радианы:

$ 765^\circ \cdot \frac{\pi}{180^\circ} = \frac{765\pi}{180} $. Сократим полученную дробь. Наибольший общий делитель для 765 и 180 равен 45.

$ \frac{765 \div 45}{180 \div 45}\pi = \frac{17\pi}{4} $.

Ответ: $ \frac{17\pi}{4} $.

15.2. a) $210^\circ$;

б) $150^\circ$;

в) $330^\circ$;

г) $675^\circ$.

Для перевода градусной меры угла в радианную используется формула:
$ \alpha_{\text{рад}} = \alpha_{\text{град}} \cdot \frac{\pi}{180^{\circ}} $

а) 210°

Подставим значение угла в формулу и выполним вычисления:
$ 210^{\circ} \cdot \frac{\pi}{180^{\circ}} = \frac{210\pi}{180} $
Сократим полученную дробь на 30:
$ \frac{210\pi}{180} = \frac{7 \cdot 30 \cdot \pi}{6 \cdot 30} = \frac{7\pi}{6} $
Ответ: $ \frac{7\pi}{6} $

б) 150°

Подставим значение угла в формулу и выполним вычисления:
$ 150^{\circ} \cdot \frac{\pi}{180^{\circ}} = \frac{150\pi}{180} $
Сократим полученную дробь на 30:
$ \frac{150\pi}{180} = \frac{5 \cdot 30 \cdot \pi}{6 \cdot 30} = \frac{5\pi}{6} $
Ответ: $ \frac{5\pi}{6} $

в) 330°

Подставим значение угла в формулу и выполним вычисления:
$ 330^{\circ} \cdot \frac{\pi}{180^{\circ}} = \frac{330\pi}{180} $
Сократим полученную дробь на 30:
$ \frac{330\pi}{180} = \frac{11 \cdot 30 \cdot \pi}{6 \cdot 30} = \frac{11\pi}{6} $
Ответ: $ \frac{11\pi}{6} $

г) 675°

Подставим значение угла в формулу и выполним вычисления:
$ 675^{\circ} \cdot \frac{\pi}{180^{\circ}} = \frac{675\pi}{180} $
Сократим полученную дробь. Наибольший общий делитель для чисел 675 и 180 равен 45.
$ \frac{675\pi}{180} = \frac{15 \cdot 45 \cdot \pi}{4 \cdot 45} = \frac{15\pi}{4} $
Ответ: $ \frac{15\pi}{4} $

Переведите из радианной меры в градусную:

15.3. a) $\frac{3\pi}{4}$;

б) $\frac{11\pi}{3}$;

в) $\frac{6\pi}{5}$;

г) $\frac{46\pi}{9}$.

Для перевода величины угла из радианной меры в градусную используется основное соотношение: $\pi \text{ радиан} = 180^\circ$. Чтобы перевести угол из радиан в градусы, необходимо умножить его значение в радианах на коэффициент $\frac{180^\circ}{\pi}$.

а) Переведем $\frac{3\pi}{4}$ радиан в градусы:

$\frac{3\pi}{4} \cdot \frac{180^\circ}{\pi} = \frac{3 \cdot 180^\circ}{4} = 3 \cdot 45^\circ = 135^\circ$.

Ответ: $135^\circ$.

б) Переведем $\frac{11\pi}{3}$ радиан в градусы:

$\frac{11\pi}{3} \cdot \frac{180^\circ}{\pi} = \frac{11 \cdot 180^\circ}{3} = 11 \cdot 60^\circ = 660^\circ$.

Ответ: $660^\circ$.

в) Переведем $\frac{6\pi}{5}$ радиан в градусы:

$\frac{6\pi}{5} \cdot \frac{180^\circ}{\pi} = \frac{6 \cdot 180^\circ}{5} = 6 \cdot 36^\circ = 216^\circ$.

Ответ: $216^\circ$.

г) Переведем $\frac{46\pi}{9}$ радиан в градусы:

$\frac{46\pi}{9} \cdot \frac{180^\circ}{\pi} = \frac{46 \cdot 180^\circ}{9} = 46 \cdot 20^\circ = 920^\circ$.

Ответ: $920^\circ$.

15.4. a) $\frac{5\pi}{8}$;

б) $\frac{7\pi}{12}$;

В) $\frac{11\pi}{12}$;

г) $\frac{47\pi}{9}$.

а) Для перевода радианной меры угла в градусную используется формула: $Угол_{градусы} = Угол_{радианы} \cdot \frac{180°}{\pi}$.
Подставим заданное значение $\frac{5\pi}{8}$ в эту формулу:
$\frac{5\pi}{8} \cdot \frac{180°}{\pi} = \frac{5 \cdot 180°}{8} = \frac{900°}{8} = 112.5°$.
Ответ: $112.5°$.

б) Переведем угол $\frac{7\pi}{12}$ из радиан в градусы, используя ту же формулу.
$\frac{7\pi}{12} \cdot \frac{180°}{\pi} = \frac{7 \cdot 180°}{12}$.
Сократим дробь, разделив 180 на 12: $180 \div 12 = 15$.
$7 \cdot 15° = 105°$.
Ответ: $105°$.

в) Переведем угол $\frac{11\pi}{12}$ из радиан в градусы.
$\frac{11\pi}{12} \cdot \frac{180°}{\pi} = \frac{11 \cdot 180°}{12}$.
Так как $180 \div 12 = 15$, получаем:
$11 \cdot 15° = 165°$.
Ответ: $165°$.

г) Переведем угол $\frac{47\pi}{9}$ из радиан в градусы.
$\frac{47\pi}{9} \cdot \frac{180°}{\pi} = \frac{47 \cdot 180°}{9}$.
Сократим дробь, разделив 180 на 9: $180 \div 9 = 20$.
$47 \cdot 20° = 940°$.
Ответ: $940°$.

Вычислите $ \sin \alpha $, $ \cos \alpha $, $ \operatorname{tg} \alpha $, $ \operatorname{ctg} \alpha $ для заданного значения угла $ \alpha $:

15.5. а) $ 90^\circ $;

б) $ 180^\circ $;

в) $ 270^\circ $;

г) $ 360^\circ $.

а) Для угла $\alpha = 90^\circ$

Для нахождения значений тригонометрических функций для угла $\alpha = 90^\circ$ воспользуемся единичной окружностью. Точка на единичной окружности, соответствующая углу $90^\circ$, находится на положительной части оси ординат (OY) и имеет координаты $(0, 1)$.

По определению, $\sin \alpha$ — это ордината (координата y) точки на единичной окружности, а $\cos \alpha$ — это абсцисса (координата x). Следовательно:

$\sin 90^\circ = 1$

$\cos 90^\circ = 0$

Тангенс и котангенс определяются по формулам $\tg \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}$ и $\ctg \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}$.

Вычисляем тангенс:

$\tg 90^\circ = \frac{\sin 90^\circ}{\cos 90^\circ} = \frac{1}{0}$

Так как деление на ноль не определено, $\tg 90^\circ$ не существует.

Вычисляем котангенс:

$\ctg 90^\circ = \frac{\cos 90^\circ}{\sin 90^\circ} = \frac{0}{1} = 0$

Ответ: $\sin 90^\circ = 1$, $\cos 90^\circ = 0$, $\tg 90^\circ$ не существует, $\ctg 90^\circ = 0$.

б) Для угла $\alpha = 180^\circ$

Точка на единичной окружности, соответствующая углу $180^\circ$, находится на отрицательной части оси абсцисс (OX) и имеет координаты $(-1, 0)$.

Следовательно:

$\sin 180^\circ = 0$

$\cos 180^\circ = -1$

Вычисляем тангенс:

$\tg 180^\circ = \frac{\sin 180^\circ}{\cos 180^\circ} = \frac{0}{-1} = 0$

Вычисляем котангенс:

$\ctg 180^\circ = \frac{\cos 180^\circ}{\sin 180^\circ} = \frac{-1}{0}$

Так как деление на ноль не определено, $\ctg 180^\circ$ не существует.

Ответ: $\sin 180^\circ = 0$, $\cos 180^\circ = -1$, $\tg 180^\circ = 0$, $\ctg 180^\circ$ не существует.

в) Для угла $\alpha = 270^\circ$

Точка на единичной окружности, соответствующая углу $270^\circ$, находится на отрицательной части оси ординат (OY) и имеет координаты $(0, -1)$.

Следовательно:

$\sin 270^\circ = -1$

$\cos 270^\circ = 0$

Вычисляем тангенс:

$\tg 270^\circ = \frac{\sin 270^\circ}{\cos 270^\circ} = \frac{-1}{0}$

Так как деление на ноль не определено, $\tg 270^\circ$ не существует.

Вычисляем котангенс:

$\ctg 270^\circ = \frac{\cos 270^\circ}{\sin 270^\circ} = \frac{0}{-1} = 0$

Ответ: $\sin 270^\circ = -1$, $\cos 270^\circ = 0$, $\tg 270^\circ$ не существует, $\ctg 270^\circ = 0$.

г) Для угла $\alpha = 360^\circ$

Угол в $360^\circ$ соответствует полному обороту, поэтому точка на единичной окружности для этого угла совпадает с точкой для угла $0^\circ$. Эта точка находится на положительной части оси абсцисс (OX) и имеет координаты $(1, 0)$.

Следовательно:

$\sin 360^\circ = 0$

$\cos 360^\circ = 1$

Вычисляем тангенс:

$\tg 360^\circ = \frac{\sin 360^\circ}{\cos 360^\circ} = \frac{0}{1} = 0$

Вычисляем котангенс:

$\ctg 360^\circ = \frac{\cos 360^\circ}{\sin 360^\circ} = \frac{1}{0}$

Так как деление на ноль не определено, $\ctg 360^\circ$ не существует.

Ответ: $\sin 360^\circ = 0$, $\cos 360^\circ = 1$, $\tg 360^\circ = 0$, $\ctg 360^\circ$ не существует.

15.6. a) $30^\circ$;

б) $150^\circ$;

в) $210^\circ$;

г) $240^\circ$.

Для перевода градусной меры угла в радианную необходимо умножить значение угла в градусах на $ \frac{\pi}{180^\circ} $. Формула для перевода:

$ \alpha_{рад} = \alpha_{град} \times \frac{\pi}{180^\circ} $

Применим эту формулу для решения каждого подпункта.

а)

Переведем угол $ 30^\circ $ в радианы. Для этого умножим 30 на $ \frac{\pi}{180} $:

$ 30^\circ = 30 \times \frac{\pi}{180} = \frac{30\pi}{180} $

Теперь сократим полученную дробь на 30:

$ \frac{30\pi}{180} = \frac{\pi}{6} $

Ответ: $ \frac{\pi}{6} $

б)

Переведем угол $ 150^\circ $ в радианы. Для этого умножим 150 на $ \frac{\pi}{180} $:

$ 150^\circ = 150 \times \frac{\pi}{180} = \frac{150\pi}{180} $

Сократим дробь на 30 (наибольший общий делитель для 150 и 180):

$ \frac{150\pi}{180} = \frac{5\pi}{6} $

Ответ: $ \frac{5\pi}{6} $

в)

Переведем угол $ 210^\circ $ в радианы. Для этого умножим 210 на $ \frac{\pi}{180} $:

$ 210^\circ = 210 \times \frac{\pi}{180} = \frac{210\pi}{180} $

Сократим дробь на 30:

$ \frac{210\pi}{180} = \frac{7\pi}{6} $

Ответ: $ \frac{7\pi}{6} $

г)

Переведем угол $ 240^\circ $ в радианы. Для этого умножим 240 на $ \frac{\pi}{180} $:

$ 240^\circ = 240 \times \frac{\pi}{180} = \frac{240\pi}{180} $

Сократим дробь на 60 (наибольший общий делитель для 240 и 180):

$ \frac{240\pi}{180} = \frac{4\pi}{3} $

Ответ: $ \frac{4\pi}{3} $

Расположите в порядке возрастания числа:

15.7. a) $\sin 40^\circ$, $\sin 80^\circ$, $\sin 120^\circ$, $\sin 160^\circ$;

б) $\cos 40^\circ$, $\cos 80^\circ$, $\cos 120^\circ$, $\cos 160^\circ$.

а) Чтобы расположить числа $\sin 40^\circ, \sin 80^\circ, \sin 120^\circ, \sin 160^\circ$ в порядке возрастания, проанализируем значения функции $y = \sin x$.
Воспользуемся формулами приведения, чтобы привести все углы к первой четверти, где поведение функции синуса нам хорошо известно. Формула приведения для синуса: $\sin(180^\circ - \alpha) = \sin \alpha$.
Применим ее к углам из второй четверти:
$\sin 120^\circ = \sin(180^\circ - 60^\circ) = \sin 60^\circ$.
$\sin 160^\circ = \sin(180^\circ - 20^\circ) = \sin 20^\circ$.
Теперь задача сводится к сравнению следующих четырех значений: $\sin 40^\circ, \sin 80^\circ, \sin 60^\circ$ и $\sin 20^\circ$.
Все углы $20^\circ, 40^\circ, 60^\circ, 80^\circ$ находятся в промежутке от $0^\circ$ до $90^\circ$. На этом промежутке функция $y = \sin x$ является возрастающей, то есть большему значению угла соответствует большее значение синуса.
Так как $20^\circ < 40^\circ < 60^\circ < 80^\circ$, то соответствующие значения синусов располагаются в том же порядке:
$\sin 20^\circ < \sin 40^\circ < \sin 60^\circ < \sin 80^\circ$.
Теперь вернемся к исходным числам, подставив преобразованные значения:
$\sin 160^\circ < \sin 40^\circ < \sin 120^\circ < \sin 80^\circ$.
Ответ: $\sin 160^\circ, \sin 40^\circ, \sin 120^\circ, \sin 80^\circ$.

б) Чтобы расположить числа $\cos 40^\circ, \cos 80^\circ, \cos 120^\circ, \cos 160^\circ$ в порядке возрастания, проанализируем значения функции $y = \cos x$.
Все заданные углы ($40^\circ, 80^\circ, 120^\circ, 160^\circ$) находятся в промежутке от $0^\circ$ до $180^\circ$. На всем этом промежутке функция $y = \cos x$ является убывающей. Это означает, что чем больше угол, тем меньше значение его косинуса.
Расположим сами углы в порядке возрастания:
$40^\circ < 80^\circ < 120^\circ < 160^\circ$.
Поскольку функция косинуса убывает на данном промежутке, то для значений косинусов этих углов будет выполняться обратное неравенство:
$\cos 40^\circ > \cos 80^\circ > \cos 120^\circ > \cos 160^\circ$.
Это означает, что числа расположены в порядке убывания. Чтобы расположить их в порядке возрастания (от наименьшего к наибольшему), нужно записать это неравенство в обратном порядке:
$\cos 160^\circ < \cos 120^\circ < \cos 80^\circ < \cos 40^\circ$.
Ответ: $\cos 160^\circ, \cos 120^\circ, \cos 80^\circ, \cos 40^\circ$.

15.8. a) $ \sin 380^\circ $, $ \sin 830^\circ $, $ \sin 210^\circ $, $ \sin 1000^\circ $;

б) $ \cos 390^\circ $, $ \cos 460^\circ $, $ \cos 920^\circ $, $ \cos 650^\circ $.

а)

Чтобы определить знак значения синуса, необходимо установить, в какой координатной четверти расположен угол. Функция синуса положительна в I и II четвертях ($0^\circ < \alpha < 180^\circ$) и отрицательна в III и IV четвертях ($180^\circ < \alpha < 360^\circ$). Для углов, которые больше $360^\circ$, мы используем свойство периодичности синуса $\sin(\alpha + 360^\circ \cdot k) = \sin(\alpha)$, где $k$ — целое число, чтобы найти эквивалентный угол в пределах от $0^\circ$ до $360^\circ$.

• $\sin 380^\circ$: Приведем угол к основному промежутку: $380^\circ = 360^\circ + 20^\circ$. Следовательно, $\sin 380^\circ = \sin 20^\circ$. Угол $20^\circ$ находится в I четверти, где синус положителен. Таким образом, $\sin 380^\circ > 0$.

• $\sin 830^\circ$: Приведем угол: $830^\circ = 2 \cdot 360^\circ + 110^\circ = 720^\circ + 110^\circ$. Следовательно, $\sin 830^\circ = \sin 110^\circ$. Угол $110^\circ$ находится во II четверти ($90^\circ < 110^\circ < 180^\circ$), где синус положителен. Таким образом, $\sin 830^\circ > 0$.

• $\sin 210^\circ$: Угол $210^\circ$ находится в III четверти ($180^\circ < 210^\circ < 270^\circ$), где синус отрицателен. Таким образом, $\sin 210^\circ < 0$.

• $\sin 1000^\circ$: Приведем угол: $1000^\circ = 2 \cdot 360^\circ + 280^\circ = 720^\circ + 280^\circ$. Следовательно, $\sin 1000^\circ = \sin 280^\circ$. Угол $280^\circ$ находится в IV четверти ($270^\circ < 280^\circ < 360^\circ$), где синус отрицателен. Таким образом, $\sin 1000^\circ < 0$.

Ответ: $\sin 380^\circ$ (+), $\sin 830^\circ$ (+), $\sin 210^\circ$ (-), $\sin 1000^\circ$ (-).

б)

Чтобы определить знак значения косинуса, необходимо установить, в какой координатной четверти расположен угол. Функция косинуса положительна в I и IV четвертях и отрицательна во II и III четвертях. Для углов, которые больше $360^\circ$, мы используем свойство периодичности косинуса $\cos(\alpha + 360^\circ \cdot k) = \cos(\alpha)$, где $k$ — целое число, чтобы найти эквивалентный угол.

• $\cos 390^\circ$: Приведем угол: $390^\circ = 360^\circ + 30^\circ$. Следовательно, $\cos 390^\circ = \cos 30^\circ$. Угол $30^\circ$ находится в I четверти, где косинус положителен. Таким образом, $\cos 390^\circ > 0$.

• $\cos 460^\circ$: Приведем угол: $460^\circ = 360^\circ + 100^\circ$. Следовательно, $\cos 460^\circ = \cos 100^\circ$. Угол $100^\circ$ находится во II четверти ($90^\circ < 100^\circ < 180^\circ$), где косинус отрицателен. Таким образом, $\cos 460^\circ < 0$.

• $\cos 920^\circ$: Приведем угол: $920^\circ = 2 \cdot 360^\circ + 200^\circ = 720^\circ + 200^\circ$. Следовательно, $\cos 920^\circ = \cos 200^\circ$. Угол $200^\circ$ находится в III четверти ($180^\circ < 200^\circ < 270^\circ$), где косинус отрицателен. Таким образом, $\cos 920^\circ < 0$.

• $\cos 650^\circ$: Приведем угол: $650^\circ = 360^\circ + 290^\circ$. Следовательно, $\cos 650^\circ = \cos 290^\circ$. Угол $290^\circ$ находится в IV четверти ($270^\circ < 290^\circ < 360^\circ$), где косинус положителен. Таким образом, $\cos 650^\circ > 0$.

Ответ: $\cos 390^\circ$ (+), $\cos 460^\circ$ (-), $\cos 920^\circ$ (-), $\cos 650^\circ$ (+).

15.9. a) $ \sin 22,5^\circ $, $ \cos 37,4^\circ $, $ \cos 990^\circ $, $ \sin 990^\circ $;

б) $ \text{tg} 100^\circ $, $ \text{ctg} 225^\circ $, $ \cos 94,3^\circ $, $ \sin 77^\circ $.

Для определения знака sin 22,5° необходимо определить, в какой координатной четверти находится угол. Угол $22,5°$ удовлетворяет неравенству $0° < 22,5° < 90°$, следовательно, он находится в I четверти. В I четверти все тригонометрические функции положительны. Таким образом, $sin 22,5° > 0$.

Для cos 37,4° угол $37,4°$ также находится в I четверти ($0° < 37,4° < 90°$). В этой четверти косинус положителен. Таким образом, $cos 37,4° > 0$.

Для cos 990°, так как угол превышает $360°$, мы можем использовать периодичность функции косинуса, период которой равен $360°$. Найдем эквивалентный угол в пределах от $0°$ до $360°$: $990° = 2 \cdot 360° + 270°$. Следовательно, $cos 990° = cos(2 \cdot 360° + 270°) = cos 270°$. Угол $270°$ находится на границе III и IV четвертей (на отрицательной полуоси OY), и значение косинуса в этой точке равно 0.

Для sin 990°, используя тот же принцип периодичности, получаем: $sin 990° = sin(2 \cdot 360° + 270°) = sin 270°$. Значение синуса для угла $270°$ равно -1. Таким образом, $sin 990° < 0$.

Ответ: $sin 22,5°$ — положительный; $cos 37,4°$ — положительный; $cos 990°$ — равен нулю; $sin 990°$ — отрицательный.

Для tg 100° угол $100°$ удовлетворяет неравенству $90° < 100° < 180°$, что соответствует II четверти. Во II четверти тангенс отрицателен. Таким образом, $tg 100° < 0$.

Для ctg 225° угол $225°$ удовлетворяет неравенству $180° < 225° < 270°$, что соответствует III четверти. В III четверти котангенс положителен. Таким образом, $ctg 225° > 0$.

Для cos 94,3° угол $94,3°$ находится во II четверти ($90° < 94,3° < 180°$). Во II четверти косинус отрицателен. Таким образом, $cos 94,3° < 0$.

Для sin 77° угол $77°$ находится в I четверти ($0° < 77° < 90°$). В I четверти синус положителен. Таким образом, $sin 77° > 0$.

Ответ: $tg 100°$ — отрицательный; $ctg 225°$ — положительный; $cos 94,3°$ — отрицательный; $sin 77°$ — положительный.