Страница 98, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

14.29. Зная, что $tg t = a$, найдите:

a) $cos^4 t$;

б) $sin t cos t$;

в) $sin^4 t$;

г) $sin^3 t cos t$.

Для решения всех пунктов задачи будем использовать основное тригонометрическое тождество $ \sin^2 t + \cos^2 t = 1 $ и определение тангенса $ \tg t = \frac{\sin t}{\cos t} = a $. Для удобства выразим сначала $ \cos^2 t $ и $ \sin^2 t $ через $ a $.

Воспользуемся известным тригонометрическим тождеством $ 1 + \tg^2 t = \frac{1}{\cos^2 t} $. Подставим в него данное нам значение $ \tg t = a $:

$ 1 + a^2 = \frac{1}{\cos^2 t} $

Из этого тождества выразим $ \cos^2 t $:

$ \cos^2 t = \frac{1}{1 + a^2} $.

Теперь, используя основное тригонометрическое тождество, найдем $ \sin^2 t $:

$ \sin^2 t = 1 - \cos^2 t = 1 - \frac{1}{1 + a^2} = \frac{1 + a^2 - 1}{1 + a^2} = \frac{a^2}{1 + a^2} $.

Теперь у нас есть все необходимые выражения для решения задачи.

а) Чтобы найти $ \cos^4 t $, нужно возвести в квадрат полученное выражение для $ \cos^2 t $:

$ \cos^4 t = (\cos^2 t)^2 = \left(\frac{1}{1 + a^2}\right)^2 = \frac{1^2}{(1 + a^2)^2} = \frac{1}{(1 + a^2)^2} $.

Ответ: $ \frac{1}{(1 + a^2)^2} $

б) Чтобы найти $ \sin t \cos t $, преобразуем это выражение, чтобы использовать тангенс. Для этого разделим и умножим его на $ \cos t $, что эквивалентно умножению на $ \cos^2 t $ и делению на $ \cos t $:

$ \sin t \cos t = \frac{\sin t}{\cos t} \cdot \cos^2 t = \tg t \cdot \cos^2 t $.

Теперь подставим известные нам значения $ \tg t = a $ и $ \cos^2 t = \frac{1}{1 + a^2} $:

$ \sin t \cos t = a \cdot \frac{1}{1 + a^2} = \frac{a}{1 + a^2} $.

Ответ: $ \frac{a}{1 + a^2} $

в) Чтобы найти $ \sin^4 t $, нужно возвести в квадрат полученное выражение для $ \sin^2 t $:

$ \sin^4 t = (\sin^2 t)^2 = \left(\frac{a^2}{1 + a^2}\right)^2 = \frac{(a^2)^2}{(1 + a^2)^2} = \frac{a^4}{(1 + a^2)^2} $.

Ответ: $ \frac{a^4}{(1 + a^2)^2} $

г) Чтобы найти $ \sin^3 t \cos t $, можно преобразовать выражение, чтобы использовать тангенс. Для этого разделим и умножим его на $ \cos^3 t $:

$ \sin^3 t \cos t = \frac{\sin^3 t}{\cos^3 t} \cdot \cos^4 t = (\tg t)^3 \cdot \cos^4 t = \tg^3 t \cdot \cos^4 t $.

Подставим значение $ \tg t = a $ и выражение для $ \cos^4 t $ из пункта а):

$ \sin^3 t \cos t = a^3 \cdot \frac{1}{(1 + a^2)^2} = \frac{a^3}{(1 + a^2)^2} $.

Ответ: $ \frac{a^3}{(1 + a^2)^2} $

14.30. Зная, что $ctg t = a$, найдите:

a) $2 \sin^2 t + 3 \cos^2 t$;

б) $2 \sin^2 t - 3 \sin t \cos t - 5 \cos^2 t$.

а)

Чтобы найти значение выражения $2\sin^2 t + 3\cos^2 t$, зная, что $\text{ctg } t = a$, мы можем выразить его через котангенс. Для этого воспользуемся тем, что любое число можно представить в виде дроби со знаменателем 1, а 1, в свою очередь, можно представить через основное тригонометрическое тождество $\sin^2 t + \cos^2 t = 1$.

$$2\sin^2 t + 3\cos^2 t = \frac{2\sin^2 t + 3\cos^2 t}{1} = \frac{2\sin^2 t + 3\cos^2 t}{\sin^2 t + \cos^2 t}$$

Поскольку $\text{ctg } t = \frac{\cos t}{\sin t}$ по условию равен $a$, это означает, что $\text{ctg } t$ определен, и, следовательно, $\sin t \neq 0$. Это дает нам право разделить числитель и знаменатель полученной дроби на $\sin^2 t$:

$$\frac{\frac{2\sin^2 t}{\sin^2 t} + \frac{3\cos^2 t}{\sin^2 t}}{\frac{\sin^2 t}{\sin^2 t} + \frac{\cos^2 t}{\sin^2 t}}$$

Используя определение котангенса $\text{ctg } t = \frac{\cos t}{\sin t}$ (и, соответственно, $\text{ctg}^2 t = \frac{\cos^2 t}{\sin^2 t}$), упростим выражение:

$$\frac{2 + 3\text{ctg}^2 t}{1 + \text{ctg}^2 t}$$

Теперь подставим заданное значение $\text{ctg } t = a$:

$$\frac{2 + 3a^2}{1 + a^2}$$

Ответ: $\frac{2 + 3a^2}{1 + a^2}$.

б)

Для выражения $2\sin^2 t - 3\sin t \cos t - 5\cos^2 t$ применим тот же метод, что и в пункте а).

Представим выражение в виде дроби, разделив его на 1, который заменим на $\sin^2 t + \cos^2 t$:

$$2\sin^2 t - 3\sin t \cos t - 5\cos^2 t = \frac{2\sin^2 t - 3\sin t \cos t - 5\cos^2 t}{\sin^2 t + \cos^2 t}$$

Так как $\text{ctg } t = a$ существует, то $\sin t \neq 0$. Разделим числитель и знаменатель дроби на $\sin^2 t$:

$$\frac{\frac{2\sin^2 t}{\sin^2 t} - \frac{3\sin t \cos t}{\sin^2 t} - \frac{5\cos^2 t}{\sin^2 t}}{\frac{\sin^2 t}{\sin^2 t} + \frac{\cos^2 t}{\sin^2 t}}$$

Упростим каждый член дроби:

$$\frac{2 - 3\frac{\cos t}{\sin t} - 5\left(\frac{\cos t}{\sin t}\right)^2}{1 + \left(\frac{\cos t}{\sin t}\right)^2} = \frac{2 - 3\text{ctg } t - 5\text{ctg}^2 t}{1 + \text{ctg}^2 t}$$

Подставим значение $\text{ctg } t = a$:

$$\frac{2 - 3a - 5a^2}{1 + a^2}$$

Ответ: $\frac{2 - 3a - 5a^2}{1 + a^2}$.

Упростите выражение:

14.31. a) $\sqrt{\frac{1 + \cos t}{1 - \cos t}} + \sqrt{\frac{1 - \cos t}{1 + \cos t}} + \frac{2}{\sin t}$, если $3\pi < t < \frac{7\pi}{2}$

б) $\sqrt{\frac{1 - \sin t}{1 + \sin t}} + \operatorname{tg} t$, если $2\pi < t < \frac{5\pi}{2}$

a)

Дано выражение $ \sqrt{\frac{1 + \cos t}{1 - \cos t}} + \sqrt{\frac{1 - \cos t}{1 + \cos t}} + \frac{2}{\sin t} $ при условии $ 3\pi < t < \frac{7\pi}{2} $.

Сначала упростим выражения под корнем. Умножим числитель и знаменатель подкоренного выражения на сопряженное знаменателю:

$ \sqrt{\frac{1 + \cos t}{1 - \cos t}} = \sqrt{\frac{(1 + \cos t)(1 + \cos t)}{(1 - \cos t)(1 + \cos t)}} = \sqrt{\frac{(1 + \cos t)^2}{1 - \cos^2 t}} = \sqrt{\frac{(1 + \cos t)^2}{\sin^2 t}} = \frac{|1 + \cos t|}{|\sin t|} $

Аналогично для второго слагаемого:

$ \sqrt{\frac{1 - \cos t}{1 + \cos t}} = \sqrt{\frac{(1 - \cos t)(1 - \cos t)}{(1 + \cos t)(1 - \cos t)}} = \sqrt{\frac{(1 - \cos t)^2}{1 - \cos^2 t}} = \sqrt{\frac{(1 - \cos t)^2}{\sin^2 t}} = \frac{|1 - \cos t|}{|\sin t|} $

Исходное выражение принимает вид:

$ \frac{|1 + \cos t|}{|\sin t|} + \frac{|1 - \cos t|}{|\sin t|} + \frac{2}{\sin t} $

Теперь определим знаки выражений под модулем в заданном интервале $ 3\pi < t < \frac{7\pi}{2} $. Этот интервал соответствует III координатной четверти (если вычесть период $2\pi$, получим эквивалентный интервал $ \pi < t' < \frac{3\pi}{2} $).

В III четверти синус отрицателен, то есть $ \sin t < 0 $. Следовательно, $ |\sin t| = -\sin t $.

Для любого $t$ выполняется неравенство $ -1 \le \cos t \le 1 $, поэтому выражения $ 1 + \cos t $ и $ 1 - \cos t $ всегда неотрицательны. Так как $t$ находится строго внутри интервала, равенство нулю не достигается.

Таким образом, $ |1 + \cos t| = 1 + \cos t $ и $ |1 - \cos t| = 1 - \cos t $.

Подставим раскрытые модули в выражение:

$ \frac{1 + \cos t}{-\sin t} + \frac{1 - \cos t}{-\sin t} + \frac{2}{\sin t} $

Приведем все слагаемые к общему знаменателю $ \sin t $:

$ \frac{-(1 + \cos t) - (1 - \cos t) + 2}{\sin t} = \frac{-1 - \cos t - 1 + \cos t + 2}{\sin t} = \frac{-2 + 2}{\sin t} = \frac{0}{\sin t} = 0 $

Ответ: 0

б)

Дано выражение $ \sqrt{\frac{1 - \sin t}{1 + \sin t}} + \text{tg } t $ при условии $ 2\pi < t < \frac{5\pi}{2} $.

Упростим выражение под корнем, умножив числитель и знаменатель на $ (1 - \sin t) $:

$ \sqrt{\frac{1 - \sin t}{1 + \sin t}} = \sqrt{\frac{(1 - \sin t)(1 - \sin t)}{(1 + \sin t)(1 - \sin t)}} = \sqrt{\frac{(1 - \sin t)^2}{1 - \sin^2 t}} = \sqrt{\frac{(1 - \sin t)^2}{\cos^2 t}} = \frac{|1 - \sin t|}{|\cos t|} $

Определим знаки выражений под модулем в заданном интервале $ 2\pi < t < \frac{5\pi}{2} $. Этот интервал соответствует I координатной четверти.

В I четверти косинус положителен, то есть $ \cos t > 0 $. Следовательно, $ |\cos t| = \cos t $.

Также в I четверти $ 0 < \sin t < 1 $, поэтому $ 1 - \sin t > 0 $. Следовательно, $ |1 - \sin t| = 1 - \sin t $.

Подставим раскрытые модули в исходное выражение:

$ \frac{1 - \sin t}{\cos t} + \text{tg } t $

Заменим $ \text{tg } t $ на $ \frac{\sin t}{\cos t} $ и выполним сложение:

$ \frac{1 - \sin t}{\cos t} + \frac{\sin t}{\cos t} = \frac{1 - \sin t + \sin t}{\cos t} = \frac{1}{\cos t} $

Ответ: $ \frac{1}{\cos t} $

14.32. a) $\sqrt{\sin^2 t - \operatorname{ctg}^2 t + \cos^2 t - 1} + \sqrt{\cos^{-2} t - \operatorname{tg}^2 t + \sin^2 t - 1 + 2\sin t - \cos t}$, если $t \in (13; 14);$

б) $\sqrt{\sin^2 t(1 - 2\operatorname{ctg}t) + 4\cos^2 t(1 - 0,5\operatorname{tg}t)} + \sin t + \cos t$, если $t \in (0; 1).$

а)

Упростим выражения под знаками корня, используя основные тригонометрические тождества.

Для первого подкоренного выражения $ \sin^{-2}t - \operatorname{ctg}^2 t + \cos^2 t - 1 $ воспользуемся тождеством $ 1 + \operatorname{ctg}^2 t = \frac{1}{\sin^2 t} $. Отсюда $ \sin^{-2}t - \operatorname{ctg}^2 t = \frac{1}{\sin^2 t} - \operatorname{ctg}^2 t = 1 $.
Тогда выражение под первым корнем равно $ 1 + \cos^2 t - 1 = \cos^2 t $.

Для второго подкоренного выражения $ \cos^{-2}t - \operatorname{tg}^2 t + \sin^2 t - 1 $ воспользуемся тождеством $ 1 + \operatorname{tg}^2 t = \frac{1}{\cos^2 t} $. Отсюда $ \cos^{-2}t - \operatorname{tg}^2 t = \frac{1}{\cos^2 t} - \operatorname{tg}^2 t = 1 $.
Тогда выражение под вторым корнем равно $ 1 + \sin^2 t - 1 = \sin^2 t $.

Исходное выражение преобразуется к виду:
$ \sqrt{\cos^2 t} + \sqrt{\sin^2 t} + 2\sin t - \cos t = |\cos t| + |\sin t| + 2\sin t - \cos t $.

Теперь определим знаки $ \sin t $ и $ \cos t $ для $ t \in (13; 14) $. Угол $ t $ дан в радианах.
Используем приближенное значение $ \pi \approx 3.14159 $. Вычислим границы четвертей, близкие к заданному интервалу: $ 4\pi \approx 12.566 $ и $ \frac{9\pi}{2} = 4\pi + \frac{\pi}{2} \approx 14.137 $.

Поскольку $ 4\pi < 13 < 14 < \frac{9\pi}{2} $, угол $ t $ (с точностью до полного оборота в $ 4\pi $) находится в интервале $ (0, \pi/2) $, то есть в первой координатной четверти.

В первой четверти $ \sin t > 0 $ и $ \cos t > 0 $. Следовательно, $ |\sin t| = \sin t $ и $ |\cos t| = \cos t $.

Подставляем в преобразованное выражение:
$ \cos t + \sin t + 2\sin t - \cos t = (\cos t - \cos t) + (\sin t + 2\sin t) = 3\sin t $.

Ответ: $3\sin t$.

б)

Упростим выражение под знаком корня: $ \sqrt{\sin^2 t(1 - 2\operatorname{ctg}t) + 4\cos^2 t(1 - 0.5\operatorname{tg}t)} $.
Раскроем скобки, используя определения $ \operatorname{ctg}t = \frac{\cos t}{\sin t} $ и $ \operatorname{tg}t = \frac{\sin t}{\cos t} $:
$ \sin^2 t - 2\sin^2 t \cdot \frac{\cos t}{\sin t} + 4\cos^2 t - 4\cos^2 t \cdot 0.5 \frac{\sin t}{\cos t} $
$ = \sin^2 t - 2\sin t \cos t + 4\cos^2 t - 2\sin t \cos t $
$ = \sin^2 t - 4\sin t \cos t + 4\cos^2 t $.

Заметим, что полученное выражение является полным квадратом разности: $ (\sin t - 2\cos t)^2 $.

Тогда все выражение можно переписать в виде:
$ \sqrt{(\sin t - 2\cos t)^2} + \sin t + \cos t = |\sin t - 2\cos t| + \sin t + \cos t $.

Теперь определим знак выражения $ \sin t - 2\cos t $ при $ t \in (0; 1) $. Угол $ t $ дан в радианах.
На интервале $ (0; 1) $ (что соответствует первой четверти, так как $ 1 < \pi/2 \approx 1.57 $), $ \cos t > 0 $. Поэтому знак выражения $ \sin t - 2\cos t $ совпадает со знаком выражения $ \frac{\sin t - 2\cos t}{\cos t} = \operatorname{tg}t - 2 $.

Функция $ y = \operatorname{tg}t $ возрастает на интервале $ (0; \pi/2) $. Найдем значение, при котором $ \operatorname{tg}t = 2 $. Это $ t_0 = \arctan(2) \approx 1.107 $ радиан.
Поскольку для любого $ t \in (0; 1) $ выполняется неравенство $ t < 1.107 \approx \arctan(2) $, и функция тангенса возрастающая, то $ \operatorname{tg}t < \operatorname{tg}(\arctan(2)) = 2 $.

Значит, $ \operatorname{tg}t - 2 < 0 $, и, следовательно, $ \sin t - 2\cos t < 0 $.
Поэтому, $ |\sin t - 2\cos t| = -(\sin t - 2\cos t) = 2\cos t - \sin t $.

Подставим это в выражение:
$ (2\cos t - \sin t) + \sin t + \cos t = 3\cos t $.

Ответ: $3\cos t$.

14.33. Найдите наименьшее и наибольшее значения функции:

а) $y = \sin^2 x + 2 \sin x - 5$;

б) $y = \sin^2 x - 3 \cos^2 x + 2 \cos x$;

в) $y = 4 \cos^2 x - 4 \cos x - 2$;

г) $y = \cos^2 x - 3 \sin^2 x - 4 \sin x$.

а) $y = \sin^2 x + 2 \sin x - 5$

Для нахождения наименьшего и наибольшего значений функции введем замену переменной. Пусть $t = \sin x$. Поскольку область значений синуса — отрезок $[-1, 1]$, то $-1 \le t \le 1$.

Тогда исходная функция примет вид $f(t) = t^2 + 2t - 5$. Нам нужно найти наименьшее и наибольшее значения этой квадратичной функции на отрезке $[-1, 1]$.

Графиком функции $f(t)$ является парабола, ветви которой направлены вверх, так как коэффициент при $t^2$ положителен ($1 > 0$). Следовательно, свое наименьшее значение на отрезке она может принять либо в вершине, либо на одном из концов отрезка.

Найдем координату вершины параболы по оси абсцисс: $t_v = -b / (2a) = -2 / (2 \cdot 1) = -1$.

Вершина параболы $t_v = -1$ совпадает с левой границей отрезка $[-1, 1]$. Это означает, что на данном отрезке функция возрастает. Следовательно, наименьшее значение будет в точке $t = -1$, а наибольшее — в точке $t = 1$.

Найдем эти значения:

Наименьшее значение: $y_{min} = f(-1) = (-1)^2 + 2(-1) - 5 = 1 - 2 - 5 = -6$.

Наибольшее значение: $y_{max} = f(1) = 1^2 + 2(1) - 5 = 1 + 2 - 5 = -2$.

Ответ: наименьшее значение функции равно -6, наибольшее значение равно -2.

б) $y = \sin^2 x - 3 \cos^2 x + 2 \cos x$

Приведем функцию к одной тригонометрической переменной, используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2 x = 1 - \cos^2 x$.

$y = (1 - \cos^2 x) - 3 \cos^2 x + 2 \cos x = -4 \cos^2 x + 2 \cos x + 1$.

Сделаем замену переменной $t = \cos x$. Так как $-1 \le \cos x \le 1$, то $-1 \le t \le 1$.

Получаем квадратичную функцию $f(t) = -4t^2 + 2t + 1$ на отрезке $[-1, 1]$.

Графиком является парабола, ветви которой направлены вниз (коэффициент при $t^2$ отрицателен, $-4 < 0$). Наибольшее значение функция принимает в вершине.

Найдем координату вершины: $t_v = -b / (2a) = -2 / (2 \cdot (-4)) = 1/4$.

Значение $t_v = 1/4$ принадлежит отрезку $[-1, 1]$, значит, в этой точке функция достигает своего максимума.

$y_{max} = f(1/4) = -4(1/4)^2 + 2(1/4) + 1 = -4/16 + 2/4 + 1 = -1/4 + 1/2 + 1 = 5/4$.

Наименьшее значение будет достигаться на одном из концов отрезка $[-1, 1]$. Вычислим значения функции в точках $t = -1$ и $t = 1$.

$f(-1) = -4(-1)^2 + 2(-1) + 1 = -4 - 2 + 1 = -5$.

$f(1) = -4(1)^2 + 2(1) + 1 = -4 + 2 + 1 = -1$.

Сравнивая полученные значения, находим, что $y_{min} = -5$.

Ответ: наименьшее значение функции равно -5, наибольшее значение равно $5/4$.

в) $y = 4 \cos^2 x - 4 \cos x - 2$

Сделаем замену переменной $t = \cos x$, где $-1 \le t \le 1$.

Получим квадратичную функцию $f(t) = 4t^2 - 4t - 2$ на отрезке $[-1, 1]$.

Графиком является парабола с ветвями вверх ($4 > 0$), поэтому наименьшее значение она принимает в вершине.

Координата вершины: $t_v = -b / (2a) = -(-4) / (2 \cdot 4) = 4 / 8 = 1/2$.

Значение $t_v = 1/2$ принадлежит отрезку $[-1, 1]$, значит, в этой точке функция достигает своего минимума.

$y_{min} = f(1/2) = 4(1/2)^2 - 4(1/2) - 2 = 4(1/4) - 2 - 2 = 1 - 2 - 2 = -3$.

Наибольшее значение будет достигаться на одном из концов отрезка. Вычислим значения функции в точках $t = -1$ и $t = 1$.

$f(-1) = 4(-1)^2 - 4(-1) - 2 = 4 + 4 - 2 = 6$.

$f(1) = 4(1)^2 - 4(1) - 2 = 4 - 4 - 2 = -2$.

Сравнивая значения, находим, что $y_{max} = 6$.

Ответ: наименьшее значение функции равно -3, наибольшее значение равно 6.

г) $y = \cos^2 x - 3 \sin^2 x - 4 \sin x$

Используем тождество $\cos^2 x = 1 - \sin^2 x$, чтобы выразить функцию через одну переменную.

$y = (1 - \sin^2 x) - 3 \sin^2 x - 4 \sin x = -4 \sin^2 x - 4 \sin x + 1$.

Введем замену $t = \sin x$, где $-1 \le t \le 1$.

Рассмотрим квадратичную функцию $f(t) = -4t^2 - 4t + 1$ на отрезке $[-1, 1]$.

Графиком является парабола с ветвями вниз ($-4 < 0$), поэтому наибольшее значение достигается в вершине.

Координата вершины: $t_v = -b / (2a) = -(-4) / (2 \cdot (-4)) = 4 / (-8) = -1/2$.

Точка $t_v = -1/2$ лежит в отрезке $[-1, 1]$, следовательно, максимум функции находится в этой точке.

$y_{max} = f(-1/2) = -4(-1/2)^2 - 4(-1/2) + 1 = -4(1/4) + 2 + 1 = -1 + 2 + 1 = 2$.

Наименьшее значение ищем на концах отрезка $[-1, 1]$.

$f(-1) = -4(-1)^2 - 4(-1) + 1 = -4 + 4 + 1 = 1$.

$f(1) = -4(1)^2 - 4(1) + 1 = -4 - 4 + 1 = -7$.

Сравнивая значения, получаем $y_{min} = -7$.

Ответ: наименьшее значение функции равно -7, наибольшее значение равно 2.

Постройте график функции:

14.34. a) $y = \cos^2 x + \sin^2 x;$

б) $y = \cos^2 \frac{1}{x} + \sin^2 \frac{1}{x};$

в) $y = \sin^2 \sqrt{x} + \cos^2 \sqrt{x};$

г) $y = \sin^2 \frac{1}{x^2 - 4} + \cos^2 \frac{1}{x^2 - 4}.$

а) $y = \cos^2 x + \sin^2 x$

В основе решения лежит основное тригонометрическое тождество: $\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha = 1$. В данном случае аргумент $\alpha = x$.

Таким образом, при любом значении $x$, для которого определены $\sin x$ и $\cos x$, выражение будет равно 1.

Область определения функции (ОДЗ): функции $\sin x$ и $\cos x$ определены для всех действительных чисел. Следовательно, $x \in (-\infty; +\infty)$.

Функция тождественно равна $y=1$ для всех $x$. Графиком этой функции является прямая, параллельная оси абсцисс (оси Ox) и проходящая через точку $(0, 1)$.

Ответ: Графиком функции является прямая $y=1$.

б) $y = \cos^2 \frac{1}{x} + \sin^2 \frac{1}{x}$

Используем основное тригонометрическое тождество $\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha = 1$, где на этот раз $\alpha = \frac{1}{x}$. Таким образом, функция упрощается до $y=1$.

Однако необходимо учесть область определения функции (ОДЗ). Аргумент $\frac{1}{x}$ определен не для всех $x$. Знаменатель дроби не может быть равен нулю, поэтому $x \neq 0$.

Следовательно, функция $y=1$ определена для всех $x$, кроме $x=0$. Графиком является прямая $y=1$ с "выколотой" (удаленной) точкой, абсцисса которой равна 0. Координаты этой точки — $(0, 1)$.

Ответ: Графиком функции является прямая $y=1$ с выколотой точкой $(0, 1)$.

в) $y = \sin^2 \sqrt{x} + \cos^2 \sqrt{x}$

Снова применяем основное тригонометрическое тождество $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$, где $\alpha = \sqrt{x}$. Функция принимает вид $y=1$.

Найдем область определения функции (ОДЗ). Выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным: $x \ge 0$.

Значит, функция $y=1$ определена только для $x \ge 0$. Графиком является часть прямой $y=1$, которая начинается в точке $(0, 1)$ (включая эту точку) и продолжается вправо в бесконечность. Такой график называется лучом.

Ответ: Графиком функции является луч, выходящий из точки $(0, 1)$ и идущий вправо параллельно оси Ox.

г) $y = \sin^2 \frac{1}{x^2 - 4} + \cos^2 \frac{1}{x^2 - 4}$

По основному тригонометрическому тождеству $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$, где $\alpha = \frac{1}{x^2 - 4}$, функция упрощается до $y=1$.

Найдем область определения функции (ОДЗ). Знаменатель дроби в аргументе не должен быть равен нулю: $x^2 - 4 \neq 0$.

Решаем уравнение $x^2 - 4 = 0$:
$x^2 = 4$
$x_1 = 2$, $x_2 = -2$.

Таким образом, область определения: $x \in (-\infty; -2) \cup (-2; 2) \cup (2; +\infty)$.

Графиком функции является прямая $y=1$ с двумя выколотыми точками, абсциссы которых $x=-2$ и $x=2$. Координаты выколотых точек: $(-2, 1)$ и $(2, 1)$.

Ответ: Графиком функции является прямая $y=1$ с выколотыми точками $(-2, 1)$ и $(2, 1)$.

14.35. a) $y = \operatorname{tg} x \operatorname{ctg} x;$

б) $y = 3 \cos^2 x + 2 \operatorname{tg} x \operatorname{ctg} x + 3 \sin^2 x.$

а) $y = \text{tg } x \cdot \text{ctg } x$

Чтобы упростить данное выражение, сначала найдем его область допустимых значений (ОДЗ).

1. Определение ОДЗ.
Функция $\text{tg } x$ определена при условии, что $\cos x \neq 0$, то есть $x \neq \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Функция $\text{ctg } x$ определена при условии, что $\sin x \neq 0$, то есть $x \neq \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Таким образом, исходное выражение имеет смысл, когда одновременно выполнены оба условия. Это соответствует всем значениям $x$, для которых $x \neq \frac{\pi m}{2}$, где $m \in \mathbb{Z}$.

2. Упрощение выражения.
В области допустимых значений используется основное тригонометрическое тождество, связывающее тангенс и котангенс: $\text{tg } x \cdot \text{ctg } x = 1$.
Можно также прийти к этому результату, используя определения: $y = \text{tg } x \cdot \text{ctg } x = \frac{\sin x}{\cos x} \cdot \frac{\cos x}{\sin x}$.
Поскольку в ОДЗ $\sin x \neq 0$ и $\cos x \neq 0$, можно сократить дроби, что дает $y = 1$.

Ответ: $y=1$ при $x \neq \frac{\pi k}{2}$, $k \in \mathbb{Z}$.

б) $y = 3\cos^2 x + 2\text{tg } x \cdot \text{ctg } x + 3\sin^2 x$

Для упрощения этого выражения также начнем с нахождения ОДЗ, а затем выполним преобразования.

1. Определение ОДЗ.
Выражение содержит произведение $\text{tg } x \cdot \text{ctg } x$, поэтому, как и в пункте а), область допустимых значений определяется условиями $\cos x \neq 0$ и $\sin x \neq 0$.
Следовательно, ОДЗ: $x \neq \frac{\pi k}{2}$, где $k \in \mathbb{Z}$.

2. Упрощение выражения.
Сгруппируем слагаемые для удобства:
$y = (3\cos^2 x + 3\sin^2 x) + (2\text{tg } x \cdot \text{ctg } x)$.
Упростим каждую группу по отдельности.
Для первой группы вынесем общий множитель 3 за скобки и применим основное тригонометрическое тождество $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$:
$3\cos^2 x + 3\sin^2 x = 3(\cos^2 x + \sin^2 x) = 3 \cdot 1 = 3$.
Для второй группы, как мы уже знаем, в области допустимых значений $\text{tg } x \cdot \text{ctg } x = 1$:
$2\text{tg } x \cdot \text{ctg } x = 2 \cdot 1 = 2$.
Теперь сложим полученные значения:
$y = 3 + 2 = 5$.

Ответ: $y=5$ при $x \neq \frac{\pi k}{2}$, $k \in \mathbb{Z}$.

14.36. а) Дано: $f(x) = 2x^2 - x + 1$. Докажите, что $f(\sin x) = 3 - 2\cos^2 x - \sin x$.

б) Дано: $f(x) = 3x^2 + 2x - 7$. Докажите, что $f(\sin x) = 2\sin x - 3\cos^2 x - 4$.

а)

Дана функция $f(x) = 2x^2 - x + 1$. Необходимо доказать тождество $f(\sin x) = 3 - 2\cos^2 x - \sin x$.

1. Найдем выражение для $f(\sin x)$, подставив $\sin x$ вместо $x$ в определение функции:

$f(\sin x) = 2(\sin x)^2 - \sin x + 1 = 2\sin^2 x - \sin x + 1$.

2. Теперь преобразуем полученное выражение. Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством: $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$. Отсюда выразим $\sin^2 x = 1 - \cos^2 x$.

3. Подставим это в наше выражение для $f(\sin x)$:

$f(\sin x) = 2(1 - \cos^2 x) - \sin x + 1$.

4. Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$f(\sin x) = 2 - 2\cos^2 x - \sin x + 1 = 3 - 2\cos^2 x - \sin x$.

Полученное выражение в точности совпадает с правой частью доказываемого тождества. Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано, что $f(\sin x) = 3 - 2\cos^2 x - \sin x$.

б)

Дана функция $f(x) = 3x^2 + 2x - 7$. Необходимо доказать тождество $f(\sin x) = 2\sin x - 3\cos^2 x - 4$.

1. Найдем выражение для $f(\sin x)$, подставив $\sin x$ вместо $x$:

$f(\sin x) = 3(\sin x)^2 + 2\sin x - 7 = 3\sin^2 x + 2\sin x - 7$.

2. Снова используем основное тригонометрическое тождество $\sin^2 x = 1 - \cos^2 x$ для преобразования выражения.

3. Подставим его в полученную формулу:

$f(\sin x) = 3(1 - \cos^2 x) + 2\sin x - 7$.

4. Раскроем скобки и упростим выражение:

$f(\sin x) = 3 - 3\cos^2 x + 2\sin x - 7$.

5. Приведем подобные слагаемые и сгруппируем члены для соответствия с требуемым видом:

$f(\sin x) = 2\sin x - 3\cos^2 x - 4$.

Таким образом, мы доказали требуемое равенство.

Ответ: Доказано, что $f(\sin x) = 2\sin x - 3\cos^2 x - 4$.