Номер 14.29, страница 98, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

14.29. Зная, что $tg t = a$, найдите:

a) $cos^4 t$;

б) $sin t cos t$;

в) $sin^4 t$;

г) $sin^3 t cos t$.

Для решения всех пунктов задачи будем использовать основное тригонометрическое тождество $ \sin^2 t + \cos^2 t = 1 $ и определение тангенса $ \tg t = \frac{\sin t}{\cos t} = a $. Для удобства выразим сначала $ \cos^2 t $ и $ \sin^2 t $ через $ a $.

Воспользуемся известным тригонометрическим тождеством $ 1 + \tg^2 t = \frac{1}{\cos^2 t} $. Подставим в него данное нам значение $ \tg t = a $:

$ 1 + a^2 = \frac{1}{\cos^2 t} $

Из этого тождества выразим $ \cos^2 t $:

$ \cos^2 t = \frac{1}{1 + a^2} $.

Теперь, используя основное тригонометрическое тождество, найдем $ \sin^2 t $:

$ \sin^2 t = 1 - \cos^2 t = 1 - \frac{1}{1 + a^2} = \frac{1 + a^2 - 1}{1 + a^2} = \frac{a^2}{1 + a^2} $.

Теперь у нас есть все необходимые выражения для решения задачи.

а) Чтобы найти $ \cos^4 t $, нужно возвести в квадрат полученное выражение для $ \cos^2 t $:

$ \cos^4 t = (\cos^2 t)^2 = \left(\frac{1}{1 + a^2}\right)^2 = \frac{1^2}{(1 + a^2)^2} = \frac{1}{(1 + a^2)^2} $.

Ответ: $ \frac{1}{(1 + a^2)^2} $

б) Чтобы найти $ \sin t \cos t $, преобразуем это выражение, чтобы использовать тангенс. Для этого разделим и умножим его на $ \cos t $, что эквивалентно умножению на $ \cos^2 t $ и делению на $ \cos t $:

$ \sin t \cos t = \frac{\sin t}{\cos t} \cdot \cos^2 t = \tg t \cdot \cos^2 t $.

Теперь подставим известные нам значения $ \tg t = a $ и $ \cos^2 t = \frac{1}{1 + a^2} $:

$ \sin t \cos t = a \cdot \frac{1}{1 + a^2} = \frac{a}{1 + a^2} $.

Ответ: $ \frac{a}{1 + a^2} $

в) Чтобы найти $ \sin^4 t $, нужно возвести в квадрат полученное выражение для $ \sin^2 t $:

$ \sin^4 t = (\sin^2 t)^2 = \left(\frac{a^2}{1 + a^2}\right)^2 = \frac{(a^2)^2}{(1 + a^2)^2} = \frac{a^4}{(1 + a^2)^2} $.

Ответ: $ \frac{a^4}{(1 + a^2)^2} $

г) Чтобы найти $ \sin^3 t \cos t $, можно преобразовать выражение, чтобы использовать тангенс. Для этого разделим и умножим его на $ \cos^3 t $:

$ \sin^3 t \cos t = \frac{\sin^3 t}{\cos^3 t} \cdot \cos^4 t = (\tg t)^3 \cdot \cos^4 t = \tg^3 t \cdot \cos^4 t $.

Подставим значение $ \tg t = a $ и выражение для $ \cos^4 t $ из пункта а):

$ \sin^3 t \cos t = a^3 \cdot \frac{1}{(1 + a^2)^2} = \frac{a^3}{(1 + a^2)^2} $.

Ответ: $ \frac{a^3}{(1 + a^2)^2} $