Номер 14.23, страница 97, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

14.23. Известно, $\sin t \cos t = -0,5$. Вычислите:

a) $\sin^2 t + \cos^2 t$;

б) $\sin^4 t + \cos^4 t$;

в) $\sin^6 t + \cos^6 t$;

г) $\sin^8 t + \cos^8 t$.

Для решения всех пунктов задачи будем использовать основное тригонометрическое тождество $\sin^2 t + \cos^2 t = 1$ и данное по условию значение $\sin t \cos t = -0.5$.

а) $\sin^2 t + \cos^2 t$

Согласно основному тригонометрическому тождеству, сумма квадратов синуса и косинуса одного и того же угла всегда равна единице. Это равенство справедливо для любого значения $t$.

$\sin^2 t + \cos^2 t = 1$

Ответ: 1

б) $\sin^4 t + \cos^4 t$

Чтобы найти сумму четвертых степеней, воспользуемся основным тригонометрическим тождеством, возведя его в квадрат:

$(\sin^2 t + \cos^2 t)^2 = 1^2$

Раскроем скобки в левой части по формуле квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$:

$(\sin^2 t)^2 + 2(\sin^2 t)(\cos^2 t) + (\cos^2 t)^2 = 1$

$\sin^4 t + 2\sin^2 t \cos^2 t + \cos^4 t = 1$

Сгруппируем искомое выражение и преобразуем второй член:

$(\sin^4 t + \cos^4 t) + 2(\sin t \cos t)^2 = 1$

Отсюда выразим $\sin^4 t + \cos^4 t$:

$\sin^4 t + \cos^4 t = 1 - 2(\sin t \cos t)^2$

Подставим в полученную формулу значение из условия $\sin t \cos t = -0.5$:

$\sin^4 t + \cos^4 t = 1 - 2(-0.5)^2 = 1 - 2(0.25) = 1 - 0.5 = 0.5$

Ответ: 0,5

в) $\sin^6 t + \cos^6 t$

Представим искомое выражение как сумму кубов: $\sin^6 t + \cos^6 t = (\sin^2 t)^3 + (\cos^2 t)^3$.

Воспользуемся формулой суммы кубов, выраженной через куб суммы: $a^3 + b^3 = (a+b)^3 - 3ab(a+b)$.

Пусть $a = \sin^2 t$ и $b = \cos^2 t$. Тогда $a+b = \sin^2 t + \cos^2 t = 1$ и $ab = \sin^2 t \cos^2 t = (\sin t \cos t)^2$.

Подставим эти выражения в формулу:

$\sin^6 t + \cos^6 t = (\sin^2 t + \cos^2 t)^3 - 3(\sin^2 t \cos^2 t)(\sin^2 t + \cos^2 t)$

$\sin^6 t + \cos^6 t = (1)^3 - 3(\sin t \cos t)^2 (1)$

$\sin^6 t + \cos^6 t = 1 - 3(\sin t \cos t)^2$

Подставим значение $\sin t \cos t = -0.5$:

$\sin^6 t + \cos^6 t = 1 - 3(-0.5)^2 = 1 - 3(0.25) = 1 - 0.75 = 0.25$

Ответ: 0,25

г) $\sin^8 t + \cos^8 t$

Для вычисления этого выражения воспользуемся результатом, полученным в пункте б), а именно $\sin^4 t + \cos^4 t = 0.5$.

Возведем обе части этого равенства в квадрат:

$(\sin^4 t + \cos^4 t)^2 = (0.5)^2$

Раскроем скобки в левой части, используя формулу квадрата суммы:

$(\sin^4 t)^2 + 2(\sin^4 t)(\cos^4 t) + (\cos^4 t)^2 = 0.25$

$\sin^8 t + 2\sin^4 t \cos^4 t + \cos^8 t = 0.25$

Сгруппируем искомое выражение:

$(\sin^8 t + \cos^8 t) + 2(\sin t \cos t)^4 = 0.25$

Выразим сумму восьмых степеней:

$\sin^8 t + \cos^8 t = 0.25 - 2(\sin t \cos t)^4$

Подставим известное из условия значение $\sin t \cos t = -0.5$:

$\sin^8 t + \cos^8 t = 0.25 - 2(-0.5)^4 = 0.25 - 2(0.0625)$

Выполним окончательные вычисления:

$\sin^8 t + \cos^8 t = 0.25 - 0.125 = 0.125$

Ответ: 0,125