Номер 14.17, страница 96, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

14.17. a) $ctg t = \frac{12}{5}, 3\pi < t < \frac{7\pi}{2};$

б) $ctg t = \frac{7}{24}, 2\pi < t < \frac{5\pi}{2};$

в) $ctg t = -\frac{5}{12}, \frac{7\pi}{2} < t < 4\pi;$

г) $ctg t = -\frac{8}{15}, \frac{5\pi}{2} < t < 3\pi.$

Дано: $ctg(t) = \frac{12}{5}$ и $3\pi < t < \frac{7\pi}{2}$.

Интервал $3\pi < t < \frac{7\pi}{2}$ соответствует III четверти тригонометрического круга. В этой четверти синус и косинус отрицательны ($sin(t) < 0$, $cos(t) < 0$).

Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством, связывающим синус и котангенс: $1 + ctg^2(t) = \frac{1}{sin^2(t)}$.

Подставим известное значение котангенса:

$\frac{1}{sin^2(t)} = 1 + (\frac{12}{5})^2 = 1 + \frac{144}{25} = \frac{25+144}{25} = \frac{169}{25}$.

Отсюда $sin^2(t) = \frac{25}{169}$. Так как угол $t$ находится в III четверти, его синус отрицателен, поэтому $sin(t) = -\sqrt{\frac{25}{169}} = -\frac{5}{13}$.

Найдем $cos(t)$ из определения котангенса $ctg(t) = \frac{cos(t)}{sin(t)}$, откуда $cos(t) = ctg(t) \cdot sin(t)$.

$cos(t) = \frac{12}{5} \cdot (-\frac{5}{13}) = -\frac{12}{13}$.

Найдем $tg(t)$ по формуле $tg(t) = \frac{1}{ctg(t)}$.

$tg(t) = \frac{1}{12/5} = \frac{5}{12}$.

Ответ: $sin(t) = -\frac{5}{13}$, $cos(t) = -\frac{12}{13}$, $tg(t) = \frac{5}{12}$.

Дано: $ctg(t) = \frac{7}{24}$ и $2\pi < t < \frac{5\pi}{2}$.

Интервал $2\pi < t < \frac{5\pi}{2}$ соответствует I четверти тригонометрического круга. В этой четверти синус и косинус положительны ($sin(t) > 0$, $cos(t) > 0$).

Используем тождество $1 + ctg^2(t) = \frac{1}{sin^2(t)}$.

$\frac{1}{sin^2(t)} = 1 + (\frac{7}{24})^2 = 1 + \frac{49}{576} = \frac{576+49}{576} = \frac{625}{576}$.

Отсюда $sin^2(t) = \frac{576}{625}$. Так как угол $t$ находится в I четверти, его синус положителен, поэтому $sin(t) = \sqrt{\frac{576}{625}} = \frac{24}{25}$.

Найдем $cos(t) = ctg(t) \cdot sin(t)$.

$cos(t) = \frac{7}{24} \cdot \frac{24}{25} = \frac{7}{25}$.

Найдем $tg(t) = \frac{1}{ctg(t)}$.

$tg(t) = \frac{1}{7/24} = \frac{24}{7}$.

Ответ: $sin(t) = \frac{24}{25}$, $cos(t) = \frac{7}{25}$, $tg(t) = \frac{24}{7}$.

Дано: $ctg(t) = -\frac{5}{12}$ и $\frac{7\pi}{2} < t < 4\pi$.

Интервал $\frac{7\pi}{2} < t < 4\pi$ соответствует IV четверти тригонометрического круга. В этой четверти синус отрицателен ($sin(t) < 0$), а косинус положителен ($cos(t) > 0$).

Используем тождество $1 + ctg^2(t) = \frac{1}{sin^2(t)}$.

$\frac{1}{sin^2(t)} = 1 + (-\frac{5}{12})^2 = 1 + \frac{25}{144} = \frac{144+25}{144} = \frac{169}{144}$.

Отсюда $sin^2(t) = \frac{144}{169}$. Так как угол $t$ находится в IV четверти, его синус отрицателен, поэтому $sin(t) = -\sqrt{\frac{144}{169}} = -\frac{12}{13}$.

Найдем $cos(t) = ctg(t) \cdot sin(t)$.

$cos(t) = (-\frac{5}{12}) \cdot (-\frac{12}{13}) = \frac{5}{13}$.

Найдем $tg(t) = \frac{1}{ctg(t)}$.

$tg(t) = \frac{1}{-5/12} = -\frac{12}{5}$.

Ответ: $sin(t) = -\frac{12}{13}$, $cos(t) = \frac{5}{13}$, $tg(t) = -\frac{12}{5}$.

Дано: $ctg(t) = -\frac{8}{15}$ и $\frac{5\pi}{2} < t < 3\pi$.

Интервал $\frac{5\pi}{2} < t < 3\pi$ соответствует II четверти тригонометрического круга. В этой четверти синус положителен ($sin(t) > 0$), а косинус отрицателен ($cos(t) < 0$).

Используем тождество $1 + ctg^2(t) = \frac{1}{sin^2(t)}$.

$\frac{1}{sin^2(t)} = 1 + (-\frac{8}{15})^2 = 1 + \frac{64}{225} = \frac{225+64}{225} = \frac{289}{225}$.

Отсюда $sin^2(t) = \frac{225}{289}$. Так как угол $t$ находится во II четверти, его синус положителен, поэтому $sin(t) = \sqrt{\frac{225}{289}} = \frac{15}{17}$.

Найдем $cos(t) = ctg(t) \cdot sin(t)$.

$cos(t) = (-\frac{8}{15}) \cdot \frac{15}{17} = -\frac{8}{17}$.

Найдем $tg(t) = \frac{1}{ctg(t)}$.

$tg(t) = \frac{1}{-8/15} = -\frac{15}{8}$.

Ответ: $sin(t) = \frac{15}{17}$, $cos(t) = -\frac{8}{17}$, $tg(t) = -\frac{15}{8}$.