Номер 14.11, страница 95, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

Докажите тождество:

14.11. a) $\frac{\operatorname{tg} t}{\operatorname{tg} t + \operatorname{ctg} t} = \sin^2 t;$

б) $\frac{1 + \operatorname{tg} t}{1 + \operatorname{ctg} t} = \operatorname{tg} t;$

В) $\frac{\operatorname{ctg} t}{\operatorname{tg} t + \operatorname{ctg} t} = \cos^2 t;$

г) $\frac{1 - \operatorname{ctg} t}{1 - \operatorname{tg} t} = -\operatorname{ctg} t.$

а) Преобразуем левую часть тождества, выразив тангенс и котангенс через синус и косинус. Используем формулы $\text{tg } t = \frac{\sin t}{\cos t}$ и $\text{ctg } t = \frac{\cos t}{\sin t}$.
$\frac{\text{tg } t}{\text{tg } t + \text{ctg } t} = \frac{\frac{\sin t}{\cos t}}{\frac{\sin t}{\cos t} + \frac{\cos t}{\sin t}}$
Приведем слагаемые в знаменателе к общему знаменателю $\sin t \cos t$:
$\frac{\sin t}{\cos t} + \frac{\cos t}{\sin t} = \frac{\sin^2 t + \cos^2 t}{\sin t \cos t}$
Согласно основному тригонометрическому тождеству, $\sin^2 t + \cos^2 t = 1$. Подставим это в знаменатель:
$\frac{\frac{\sin t}{\cos t}}{\frac{1}{\sin t \cos t}} = \frac{\sin t}{\cos t} \cdot \frac{\sin t \cos t}{1} = \sin t \cdot \sin t = \sin^2 t$
Левая часть равна правой, следовательно, тождество доказано.
Ответ: Что и требовалось доказать.

б) Преобразуем левую часть тождества, используя соотношение $\text{ctg } t = \frac{1}{\text{tg } t}$.
$\frac{1 + \text{tg } t}{1 + \text{ctg } t} = \frac{1 + \text{tg } t}{1 + \frac{1}{\text{tg } t}} = \frac{1 + \text{tg } t}{\frac{\text{tg } t + 1}{\text{tg } t}}$
Разделим числитель на знаменатель (умножим на перевернутую дробь):
$(1 + \text{tg } t) \cdot \frac{\text{tg } t}{1 + \text{tg } t} = \text{tg } t$
Левая часть равна правой, следовательно, тождество доказано.
Ответ: Что и требовалось доказать.

в) Преобразуем левую часть тождества, выразив тангенс и котангенс через синус и косинус.
$\frac{\text{ctg } t}{\text{tg } t + \text{ctg } t} = \frac{\frac{\cos t}{\sin t}}{\frac{\sin t}{\cos t} + \frac{\cos t}{\sin t}} = \frac{\frac{\cos t}{\sin t}}{\frac{\sin^2 t + \cos^2 t}{\sin t \cos t}}$
Так как $\sin^2 t + \cos^2 t = 1$, получаем:
$\frac{\frac{\cos t}{\sin t}}{\frac{1}{\sin t \cos t}} = \frac{\cos t}{\sin t} \cdot \frac{\sin t \cos t}{1} = \cos t \cdot \cos t = \cos^2 t$
Левая часть равна правой, следовательно, тождество доказано.
Ответ: Что и требовалось доказать.

г) Преобразуем левую часть тождества, используя соотношение $\text{tg } t = \frac{1}{\text{ctg } t}$.
$\frac{1 - \text{ctg } t}{1 - \text{tg } t} = \frac{1 - \text{ctg } t}{1 - \frac{1}{\text{ctg } t}} = \frac{1 - \text{ctg } t}{\frac{\text{ctg } t - 1}{\text{ctg } t}}$
Заметим, что $1 - \text{ctg } t = -(\text{ctg } t - 1)$. Подставим это в числитель:
$\frac{-(\text{ctg } t - 1)}{\frac{\text{ctg } t - 1}{\text{ctg } t}} = -(\text{ctg } t - 1) \cdot \frac{\text{ctg } t}{\text{ctg } t - 1} = -\text{ctg } t$
Левая часть равна правой, следовательно, тождество доказано.
Ответ: Что и требовалось доказать.