Номер 14.15, страница 96, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

14.15. a) $cos t = 0,8, 0 < t < \frac{\pi}{2};$

б) $cos t = -\frac{5}{13}, \frac{\pi}{2} < t < \pi;$

в) $cos t = 0,6, \frac{3\pi}{2} < t < 2\pi;$

г) $cos t = -\frac{24}{25}, \pi < t < \frac{3\pi}{2}.$

а) Дано: $cos \, t = 0,8$ и $0 < t < \frac{\pi}{2}$. Этот интервал соответствует I четверти, где все тригонометрические функции (синус, тангенс, котангенс) положительны.
1. Найдем $sin \, t$ из основного тригонометрического тождества $sin^2 t + cos^2 t = 1$.
$sin^2 t = 1 - cos^2 t = 1 - (0,8)^2 = 1 - 0,64 = 0,36$.
$sin \, t = \pm\sqrt{0,36} = \pm0,6$.
Так как $t$ находится в I четверти, $sin \, t > 0$, следовательно, $sin \, t = 0,6$.
2. Найдем $tg \, t$ по формуле $tg \, t = \frac{sin \, t}{cos \, t}$.
$tg \, t = \frac{0,6}{0,8} = \frac{6}{8} = \frac{3}{4} = 0,75$.
3. Найдем $ctg \, t$ по формуле $ctg \, t = \frac{cos \, t}{sin \, t}$.
$ctg \, t = \frac{0,8}{0,6} = \frac{8}{6} = \frac{4}{3}$.
Ответ: $sin \, t = 0,6; tg \, t = 0,75; ctg \, t = \frac{4}{3}$.

б) Дано: $cos \, t = -\frac{5}{13}$ и $\frac{\pi}{2} < t < \pi$. Этот интервал соответствует II четверти, где синус положителен, а тангенс и котангенс отрицательны.
1. Найдем $sin \, t$ из основного тригонометрического тождества $sin^2 t + cos^2 t = 1$.
$sin^2 t = 1 - cos^2 t = 1 - (-\frac{5}{13})^2 = 1 - \frac{25}{169} = \frac{169 - 25}{169} = \frac{144}{169}$.
$sin \, t = \pm\sqrt{\frac{144}{169}} = \pm\frac{12}{13}$.
Так как $t$ находится во II четверти, $sin \, t > 0$, следовательно, $sin \, t = \frac{12}{13}$.
2. Найдем $tg \, t = \frac{sin \, t}{cos \, t}$.
$tg \, t = \frac{12/13}{-5/13} = -\frac{12}{5} = -2,4$.
3. Найдем $ctg \, t = \frac{cos \, t}{sin \, t}$.
$ctg \, t = \frac{-5/13}{12/13} = -\frac{5}{12}$.
Ответ: $sin \, t = \frac{12}{13}; tg \, t = -2,4; ctg \, t = -\frac{5}{12}$.

в) Дано: $cos \, t = 0,6$ и $\frac{3\pi}{2} < t < 2\pi$. Этот интервал соответствует IV четверти, где синус, тангенс и котангенс отрицательны.
1. Найдем $sin \, t$ из основного тригонометрического тождества $sin^2 t + cos^2 t = 1$.
$sin^2 t = 1 - cos^2 t = 1 - (0,6)^2 = 1 - 0,36 = 0,64$.
$sin \, t = \pm\sqrt{0,64} = \pm0,8$.
Так как $t$ находится в IV четверти, $sin \, t < 0$, следовательно, $sin \, t = -0,8$.
2. Найдем $tg \, t = \frac{sin \, t}{cos \, t}$.
$tg \, t = \frac{-0,8}{0,6} = -\frac{8}{6} = -\frac{4}{3}$.
3. Найдем $ctg \, t = \frac{cos \, t}{sin \, t}$.
$ctg \, t = \frac{0,6}{-0,8} = -\frac{6}{8} = -\frac{3}{4} = -0,75$.
Ответ: $sin \, t = -0,8; tg \, t = -\frac{4}{3}; ctg \, t = -0,75$.

г) Дано: $cos \, t = -\frac{24}{25}$ и $\pi < t < \frac{3\pi}{2}$. Этот интервал соответствует III четверти, где синус отрицателен, а тангенс и котангенс положительны.
1. Найдем $sin \, t$ из основного тригонометрического тождества $sin^2 t + cos^2 t = 1$.
$sin^2 t = 1 - cos^2 t = 1 - (-\frac{24}{25})^2 = 1 - \frac{576}{625} = \frac{625 - 576}{625} = \frac{49}{625}$.
$sin \, t = \pm\sqrt{\frac{49}{625}} = \pm\frac{7}{25}$.
Так как $t$ находится в III четверти, $sin \, t < 0$, следовательно, $sin \, t = -\frac{7}{25}$.
2. Найдем $tg \, t = \frac{sin \, t}{cos \, t}$.
$tg \, t = \frac{-7/25}{-24/25} = \frac{7}{24}$.
3. Найдем $ctg \, t = \frac{cos \, t}{sin \, t}$.
$ctg \, t = \frac{-24/25}{-7/25} = \frac{24}{7}$.
Ответ: $sin \, t = -\frac{7}{25}; tg \, t = \frac{7}{24}; ctg \, t = \frac{24}{7}$.