Номер 14.9, страница 95, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

14.9. a) $\frac{\sin t}{1 + \cos t} + \frac{\sin t}{1 - \cos t}$;

Б) $\text{ctg}^2 t (\cos^2 t - 1) + 1$;

В) $\frac{\cos t}{1 + \sin t} + \frac{\cos t}{1 - \sin t}$;

Г) $\frac{\text{tg } t + 1}{1 + \text{ctg } t}$.

а) Чтобы упростить выражение $\frac{\sin t}{1 + \cos t} + \frac{\sin t}{1 - \cos t}$, приведем дроби к общему знаменателю. Общий знаменатель равен $(1 + \cos t)(1 - \cos t)$.
Используя формулу разности квадратов, получим: $(1 + \cos t)(1 - \cos t) = 1^2 - \cos^2 t = 1 - \cos^2 t$.
Согласно основному тригонометрическому тождеству $\sin^2 t + \cos^2 t = 1$, знаменатель равен $\sin^2 t$.
Теперь выполним сложение дробей:
$\frac{\sin t(1 - \cos t) + \sin t(1 + \cos t)}{(1 + \cos t)(1 - \cos t)} = \frac{\sin t - \sin t \cos t + \sin t + \sin t \cos t}{1 - \cos^2 t}$
Упростим числитель:
$\sin t - \sin t \cos t + \sin t + \sin t \cos t = 2\sin t$.
Таким образом, выражение принимает вид:
$\frac{2\sin t}{\sin^2 t} = \frac{2}{\sin t}$.
Ответ: $\frac{2}{\sin t}$

б) Упростим выражение $\text{ctg}^2 t (\cos^2 t - 1) + 1$.
Из основного тригонометрического тождества $\sin^2 t + \cos^2 t = 1$ следует, что $\cos^2 t - 1 = -\sin^2 t$.
Подставим это в исходное выражение:
$\text{ctg}^2 t (-\sin^2 t) + 1$.
Вспомним определение котангенса: $\text{ctg} t = \frac{\cos t}{\sin t}$, следовательно $\text{ctg}^2 t = \frac{\cos^2 t}{\sin^2 t}$.
Подставим это в выражение:
$\frac{\cos^2 t}{\sin^2 t} (-\sin^2 t) + 1 = -\cos^2 t + 1$.
Снова используем основное тригонометрическое тождество: $1 - \cos^2 t = \sin^2 t$.
Ответ: $\sin^2 t$

в) Чтобы упростить выражение $\frac{\cos t}{1 + \sin t} + \frac{\cos t}{1 - \sin t}$, приведем дроби к общему знаменателю $(1 + \sin t)(1 - \sin t)$.
По формуле разности квадратов: $(1 + \sin t)(1 - \sin t) = 1 - \sin^2 t$.
Из основного тригонометрического тождества, $1 - \sin^2 t = \cos^2 t$.
Выполним сложение дробей:
$\frac{\cos t(1 - \sin t) + \cos t(1 + \sin t)}{(1 + \sin t)(1 - \sin t)} = \frac{\cos t - \cos t \sin t + \cos t + \cos t \sin t}{1 - \sin^2 t}$.
Упростим числитель:
$\cos t - \cos t \sin t + \cos t + \cos t \sin t = 2\cos t$.
Таким образом, выражение принимает вид:
$\frac{2\cos t}{\cos^2 t} = \frac{2}{\cos t}$.
Ответ: $\frac{2}{\cos t}$

г) Упростим выражение $\frac{\text{tg} t + 1}{1 + \text{ctg} t}$.
Используем тождество $\text{ctg} t = \frac{1}{\text{tg} t}$ и подставим его в знаменатель:
$\frac{\text{tg} t + 1}{1 + \frac{1}{\text{tg} t}}$.
Приведем выражение в знаменателе к общему знаменателю $\text{tg} t$:
$1 + \frac{1}{\text{tg} t} = \frac{\text{tg} t + 1}{\text{tg} t}$.
Теперь исходное выражение выглядит как деление дробей:
$\frac{\text{tg} t + 1}{\frac{\text{tg} t + 1}{\text{tg} t}} = (\text{tg} t + 1) \cdot \frac{\text{tg} t}{\text{tg} t + 1}$.
Сократим общий множитель $(\text{tg} t + 1)$:
$(\text{tg} t + 1) \cdot \frac{\text{tg} t}{\text{tg} t + 1} = \text{tg} t$.
Ответ: $\text{tg} t$