Номер 14.3, страница 94, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

14.3. a) $\frac{1}{\cos^2 t} - 1;$

Б) $\frac{1 - \sin^2 t}{\cos^2 t};$

В) $1 - \frac{1}{\sin^2 t};$

Г) $\frac{1 - \cos^2 t}{1 - \sin^2 t}.$

а) Чтобы упростить выражение $\frac{1}{\cos^2 t} - 1$, приведем его к общему знаменателю, которым является $\cos^2 t$:
$\frac{1}{\cos^2 t} - 1 = \frac{1}{\cos^2 t} - \frac{\cos^2 t}{\cos^2 t} = \frac{1 - \cos^2 t}{\cos^2 t}$.
Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством $\sin^2 t + \cos^2 t = 1$. Из него следует, что $1 - \cos^2 t = \sin^2 t$.
Подставим это выражение в числитель дроби:
$\frac{1 - \cos^2 t}{\cos^2 t} = \frac{\sin^2 t}{\cos^2 t}$.
Согласно определению тангенса, $\tan t = \frac{\sin t}{\cos t}$, поэтому полученное выражение равно квадрату тангенса:
$\frac{\sin^2 t}{\cos^2 t} = \tan^2 t$.

Ответ: $\tan^2 t$

б) Рассмотрим выражение $\frac{1 - \sin^2 t}{\cos^2 t}$.
Из основного тригонометрического тождества $\sin^2 t + \cos^2 t = 1$ следует, что $\cos^2 t = 1 - \sin^2 t$.
Заменим числитель дроби на $\cos^2 t$:
$\frac{1 - \sin^2 t}{\cos^2 t} = \frac{\cos^2 t}{\cos^2 t}$.
При условии, что $\cos^2 t \ne 0$, дробь равна единице:
$\frac{\cos^2 t}{\cos^2 t} = 1$.

Ответ: $1$

в) Чтобы упростить выражение $1 - \frac{1}{\sin^2 t}$, приведем его к общему знаменателю $\sin^2 t$:
$1 - \frac{1}{\sin^2 t} = \frac{\sin^2 t}{\sin^2 t} - \frac{1}{\sin^2 t} = \frac{\sin^2 t - 1}{\sin^2 t}$.
Из основного тригонометрического тождества $\sin^2 t + \cos^2 t = 1$ можно выразить $\sin^2 t - 1 = -\cos^2 t$.
Подставим это в числитель:
$\frac{\sin^2 t - 1}{\sin^2 t} = \frac{-\cos^2 t}{\sin^2 t}$.
Согласно определению котангенса, $\cot t = \frac{\cos t}{\sin t}$, поэтому полученное выражение равно отрицательному квадрату котангенса:
$-\frac{\cos^2 t}{\sin^2 t} = -\cot^2 t$.

Ответ: $-\cot^2 t$

г) Рассмотрим выражение $\frac{1 - \cos^2 t}{1 - \sin^2 t}$.
Используем основное тригонометрическое тождество $\sin^2 t + \cos^2 t = 1$ для преобразования числителя и знаменателя.
Из тождества следует:
$1 - \cos^2 t = \sin^2 t$
$1 - \sin^2 t = \cos^2 t$
Подставим эти выражения в исходную дробь:
$\frac{1 - \cos^2 t}{1 - \sin^2 t} = \frac{\sin^2 t}{\cos^2 t}$.
Данное отношение по определению является квадратом тангенса:
$\frac{\sin^2 t}{\cos^2 t} = \tan^2 t$.

Ответ: $\tan^2 t$