Номер 13.54, страница 94, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

13.54. a) $0 < \text{tg} \frac{17}{7} + \cos^{-2} \frac{17}{7} < 1;$

б) $-1 < \sin^{-2} 4 + \text{ctg} 4 < 1.$

а) Докажем неравенство $0 < \tg \frac{17}{7} + \cos^{-2} \frac{17}{7} < 1$.Преобразуем выражение, используя основное тригонометрическое тождество $1 + \tg^2 \alpha = \frac{1}{\cos^2 \alpha} = \cos^{-2} \alpha$.Исходное выражение равносильно:$\tg \frac{17}{7} + (1 + \tg^2 \frac{17}{7}) = \tg^2 \frac{17}{7} + \tg \frac{17}{7} + 1$.Пусть $t = \tg \frac{17}{7}$. Тогда нам нужно доказать двойное неравенство $0 < t^2 + t + 1 < 1$.Рассмотрим левую часть неравенства: $t^2 + t + 1 > 0$.Это квадратичная функция относительно $t$. Дискриминант квадратного трехчлена $t^2 + t + 1$ равен $D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = -3$.Поскольку старший коэффициент (при $t^2$) положителен ($a=1>0$), а дискриминант отрицателен ($D < 0$), парабола $y=t^2+t+1$ полностью лежит выше оси абсцисс, то есть квадратный трехчлен принимает только положительные значения при любом действительном $t$. Следовательно, левая часть неравенства $t^2 + t + 1 > 0$ верна.Рассмотрим правую часть неравенства: $t^2 + t + 1 < 1$.Это неравенство эквивалентно $t^2 + t < 0$, или $t(t+1) < 0$.Решением этого неравенства является интервал $-1 < t < 0$.Теперь необходимо оценить значение $t = \tg \frac{17}{7}$.Для этого определим, в какой четверти находится угол $\alpha = \frac{17}{7}$ радиан.Используем приближенное значение $\pi \approx 3,1416$.$\frac{\pi}{2} \approx 1,5708$; $\pi \approx 3,1416$; $\frac{3\pi}{4} \approx 2,3562$.Значение угла $\frac{17}{7} \approx 2,4286$.Так как $1,5708 < 2,4286 < 3,1416$, то есть $\frac{\pi}{2} < \frac{17}{7} < \pi$, угол $\frac{17}{7}$ находится во второй координатной четверти.В этой четверти значения тангенса отрицательны, поэтому $t = \tg \frac{17}{7} < 0$.Сравним $\frac{17}{7}$ с $\frac{3\pi}{4}$. Мы видим, что $\frac{17}{7} \approx 2,4286 > 2,3562 \approx \frac{3\pi}{4}$.Функция $y = \tg x$ является возрастающей на интервале $(\frac{\pi}{2}; \pi)$.Следовательно, $\tg \frac{17}{7} > \tg \frac{3\pi}{4} = -1$.Объединяя полученные результаты, имеем $-1 < \tg \frac{17}{7} < 0$, что соответствует условию $-1 < t < 0$.Таким образом, правая часть неравенства также верна, и исходное неравенство доказано.
Ответ: Неравенство $0 < \tg \frac{17}{7} + \cos^{-2} \frac{17}{7} < 1$ верно.

б) Проверим истинность неравенства $-1 < \sin^{-2} 4 + \ctg 4 < 1$.Преобразуем выражение, используя основное тригонометрическое тождество $1 + \ctg^2 \alpha = \frac{1}{\sin^2 \alpha} = \sin^{-2} \alpha$.Исходное выражение равносильно:$(1 + \ctg^2 4) + \ctg 4 = \ctg^2 4 + \ctg 4 + 1$.Пусть $v = \ctg 4$. Тогда нам нужно проверить истинность двойного неравенства $-1 < v^2 + v + 1 < 1$.Рассмотрим левую часть неравенства: $v^2 + v + 1 > -1$.Выделим полный квадрат в квадратном трехчлене: $v^2 + v + 1 = (v^2 + 2 \cdot v \cdot \frac{1}{2} + \frac{1}{4}) - \frac{1}{4} + 1 = (v + \frac{1}{2})^2 + \frac{3}{4}$.Минимальное значение этого выражения равно $\frac{3}{4}$ (достигается при $v = -\frac{1}{2}$). Поскольку $\frac{3}{4} > -1$, левая часть неравенства $v^2 + v + 1 > -1$ верна при любом действительном значении $v$.Рассмотрим правую часть неравенства: $v^2 + v + 1 < 1$.Это неравенство эквивалентно $v^2 + v < 0$, или $v(v+1) < 0$.Решением этого неравенства является интервал $-1 < v < 0$.Теперь необходимо оценить значение $v = \ctg 4$.Для этого определим, в какой четверти находится угол $\alpha = 4$ радиана.Используем приближенное значение $\pi \approx 3,1416$.$\pi \approx 3,1416$; $\frac{3\pi}{2} \approx 4,7124$.Так как $3,1416 < 4 < 4,7124$, то есть $\pi < 4 < \frac{3\pi}{2}$, угол $4$ радиана находится в третьей координатной четверти.В этой четверти значения котангенса положительны, то есть $v = \ctg 4 > 0$.Поскольку $v > 0$, условие $-1 < v < 0$, необходимое для выполнения правой части неравенства, не выполняется.Более того, так как $v>0$, то и $v+1 > 1$, а их произведение $v(v+1) > 0$.Из этого следует, что $v^2 + v > 0$, а значит $v^2 + v + 1 > 1$.Таким образом, $\sin^{-2} 4 + \ctg 4 > 1$, что противоречит правой части исходного неравенства.
Ответ: Исходное неравенство неверно, так как $\sin^{-2} 4 + \ctg 4 > 1$.