Номер 13.48, страница 93, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

13.48. a) $sin t \le \frac{1}{2}$;

б) $cos t \ge -\frac{\sqrt{2}}{2}$;

В) $sin t \ge -\frac{1}{2}$;

Г) $cos t \le \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Чтобы решить неравенство $ \sin t \le \frac{1}{2} $, рассмотрим единичную окружность. Сначала найдем значения $t$, для которых $ \sin t = \frac{1}{2} $. Это происходит в точках $ t = \frac{\pi}{6} $ и $ t = \pi - \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6} $. Неравенству $ \sin t \le \frac{1}{2} $ соответствуют точки на единичной окружности, ордината (координата y) которых меньше или равна $ \frac{1}{2} $. Это дуга, которая начинается в точке $ \frac{5\pi}{6} $ и идет против часовой стрелки до точки $ \frac{\pi}{6} $ следующего оборота. Таким образом, на одном обороте решение представляет собой интервал $ [\frac{5\pi}{6}, 2\pi + \frac{\pi}{6}] $, то есть $ [\frac{5\pi}{6}, \frac{13\pi}{6}] $. Для удобства можно сдвинуть этот интервал на $ 2\pi $ назад, получив $ [\frac{5\pi}{6} - 2\pi, \frac{13\pi}{6} - 2\pi] $, что равно $ [-\frac{7\pi}{6}, \frac{\pi}{6}] $. Учитывая периодичность функции синус, общее решение записывается как:
Ответ: $ -\frac{7\pi}{6} + 2\pi k \le t \le \frac{\pi}{6} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z} $

Чтобы решить неравенство $ \cos t \ge -\frac{\sqrt{2}}{2} $, рассмотрим единичную окружность. Сначала найдем значения $t$, для которых $ \cos t = -\frac{\sqrt{2}}{2} $. Это происходит в точках $ t = \frac{3\pi}{4} $ и $ t = -\frac{3\pi}{4} $. Неравенству $ \cos t \ge -\frac{\sqrt{2}}{2} $ соответствуют точки на единичной окружности, абсцисса (координата x) которых больше или равна $ -\frac{\sqrt{2}}{2} $. Это дуга, заключенная между точками $ -\frac{3\pi}{4} $ и $ \frac{3\pi}{4} $, включая сами эти точки. Учитывая периодичность функции косинус, общее решение записывается как:
Ответ: $ -\frac{3\pi}{4} + 2\pi k \le t \le \frac{3\pi}{4} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z} $

Чтобы решить неравенство $ \sin t \ge -\frac{1}{2} $, рассмотрим единичную окружность. Сначала найдем значения $t$, для которых $ \sin t = -\frac{1}{2} $. Это происходит в точках $ t = -\frac{\pi}{6} $ и $ t = \pi - (-\frac{\pi}{6}) = \frac{7\pi}{6} $. Неравенству $ \sin t \ge -\frac{1}{2} $ соответствуют точки на единичной окружности, ордината (координата y) которых больше или равна $ -\frac{1}{2} $. Это дуга, которая начинается в точке $ -\frac{\pi}{6} $ и идет против часовой стрелки до точки $ \frac{7\pi}{6} $. Учитывая периодичность функции синус, общее решение записывается как:
Ответ: $ -\frac{\pi}{6} + 2\pi k \le t \le \frac{7\pi}{6} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z} $

Чтобы решить неравенство $ \cos t \le \frac{\sqrt{2}}{2} $, рассмотрим единичную окружность. Сначала найдем значения $t$, для которых $ \cos t = \frac{\sqrt{2}}{2} $. Это происходит в точках $ t = \frac{\pi}{4} $ и $ t = -\frac{\pi}{4} $ (или $ t = \frac{7\pi}{4} $). Неравенству $ \cos t \le \frac{\sqrt{2}}{2} $ соответствуют точки на единичной окружности, абсцисса (координата x) которых меньше или равна $ \frac{\sqrt{2}}{2} $. Это дуга, которая начинается в точке $ \frac{\pi}{4} $ и идет против часовой стрелки до точки $ \frac{7\pi}{4} $. Учитывая периодичность функции косинус, общее решение записывается как:
Ответ: $ \frac{\pi}{4} + 2\pi k \le t \le \frac{7\pi}{4} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z} $