Номер 13.44, страница 93, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

13.44. a) $ \sin t > 0; $

б) $ \sin t < \frac{\sqrt{3}}{2}; $

В) $ \sin t < 0; $

Г) $ \sin t > \frac{\sqrt{3}}{2}. $

Для решения этих неравенств мы используем тригонометрическую окружность. Значение синуса соответствует координате y точки на окружности.

а) $\sin t > 0$

Синус положителен в I и II четвертях (выше оси $Ox$).

Точки на окружности: от $0$ до $\pi$. Учитывая период:

Ответ: $2\pi k < t < \pi + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$

б) $\sin t < \frac{\sqrt{3}}{2}$

Сначала найдем точки, где $\sin t = \frac{\sqrt{3}}{2}$. Это $t_1 = \frac{\pi}{3}$ и $t_2 = \frac{2\pi}{3}$. Нам нужна нижняя часть дуги.

Двигаясь против часовой стрелки, мы берем интервал от $-\frac{4\pi}{3}$ до $\frac{\pi}{3}$ (или от $\frac{2\pi}{3}$ до $\frac{7\pi}{3}$ следующего круга).

Ответ: $-\frac{4\pi}{3} + 2\pi k < t < \frac{\pi}{3} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$

в) $\sin t < 0$

Синус отрицателен в III и IV четвертях (ниже оси $Ox$).

Точки на окружности: от $\pi$ до $2\pi$.

Ответ: $\pi + 2\pi k < t < 2\pi + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$

г) $\sin t > \frac{\sqrt{3}}{2}$

Это "шапка" окружности выше уровня $y = \frac{\sqrt{3}}{2}$. Используем точки из пункта б.

Нам подходит интервал между $t_1$ и $t_2$.

Ответ: $\frac{\pi}{3} + 2\pi k < t < \frac{2\pi}{3} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$