Номер 13.44, страница 93, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

13.44. a) $ \sin t > 0; $

б) $ \sin t < \frac{\sqrt{3}}{2}; $

В) $ \sin t < 0; $

Г) $ \sin t > \frac{\sqrt{3}}{2}. $

а) Решим неравенство $ \sin t > 0 $.
Значение синуса угла $ t $ соответствует ординате (координате y) точки на единичной окружности. Неравенство $ \sin t > 0 $ выполняется для точек, расположенных в верхней полуплоскости, то есть в I и II координатных четвертях.
Найдем корни уравнения $ \sin t = 0 $. На интервале $[0, 2\pi)$ это точки $ t = 0 $ и $ t = \pi $.
Таким образом, на одном обороте решением является интервал $ (0, \pi) $.
Учитывая периодичность функции синус, равную $ 2\pi $, общее решение неравенства имеет вид: $ 2\pi k < t < \pi + 2\pi k $, где $ k \in \mathbb{Z} $.
Ответ: $ t \in (2\pi k, \pi + 2\pi k), k \in \mathbb{Z} $.

б) Решим неравенство $ \sin t < \frac{\sqrt{3}}{2} $.
Сначала найдем углы $ t $, для которых $ \sin t = \frac{\sqrt{3}}{2} $. На единичной окружности этим значениям соответствуют углы $ t_1 = \arcsin(\frac{\sqrt{3}}{2}) = \frac{\pi}{3} $ и $ t_2 = \pi - \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3} $.
Неравенство $ \sin t < \frac{\sqrt{3}}{2} $ выполняется для всех точек на единичной окружности, ордината которых меньше $ \frac{\sqrt{3}}{2} $. Это соответствует дуге, которая "обходит" малую дугу от $ \frac{\pi}{3} $ до $ \frac{2\pi}{3} $.
Интервал решения можно описать как дугу, начинающуюся в точке $ \frac{2\pi}{3} $ и идущую против часовой стрелки до точки $ \frac{\pi}{3} $ на следующем обороте. То есть, $ \frac{2\pi}{3} < t < \frac{\pi}{3} + 2\pi $.
Учитывая периодичность, общее решение: $ \frac{2\pi}{3} + 2\pi k < t < \frac{\pi}{3} + 2\pi + 2\pi k $, что можно записать как $ \frac{2\pi}{3} + 2\pi k < t < \frac{7\pi}{3} + 2\pi k $, где $ k \in \mathbb{Z} $.
Ответ: $ t \in (\frac{2\pi}{3} + 2\pi k, \frac{7\pi}{3} + 2\pi k), k \in \mathbb{Z} $.

в) Решим неравенство $ \sin t < 0 $.
Значение синуса угла $ t $ соответствует ординате точки на единичной окружности. Неравенство $ \sin t < 0 $ выполняется для точек, расположенных в нижней полуплоскости (III и IV координатные четверти).
Граничные точки, где $ \sin t = 0 $, это $ t = \pi $ и $ t = 2\pi $ (или $t=0$). На одном обороте решение — это интервал $ (\pi, 2\pi) $.
С учетом периодичности функции синус, равной $ 2\pi $, общее решение неравенства имеет вид: $ \pi + 2\pi k < t < 2\pi + 2\pi k $, где $ k \in \mathbb{Z} $.
Этот же интервал можно представить в более компактной форме: $ -\pi + 2\pi k < t < 2\pi k $, где $ k \in \mathbb{Z} $.
Ответ: $ t \in (\pi + 2\pi k, 2\pi + 2\pi k), k \in \mathbb{Z} $ (или $t