Номер 13.45, страница 93, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

13.45. a) $ \cos t > 0; $

б) $ \cos t < \frac{\sqrt{2}}{2}; $

В) $ \cos t < 0; $

Г) $ \cos t > \frac{\sqrt{2}}{2}. $

а) $ \cos t > 0 $

Для решения этого тригонометрического неравенства воспользуемся единичной окружностью. Косинус угла $t$ соответствует абсциссе (координате $x$) точки на единичной окружности. Неравенство $ \cos t > 0 $ выполняется для точек, у которых абсцисса положительна.

Эти точки расположены в I и IV координатных четвертях. На единичной окружности это соответствует дуге, расположенной справа от оси ординат (оси Oy).

Граничные точки этой дуги соответствуют углам, для которых $ \cos t = 0 $. Это углы $ t = -\frac{\pi}{2} $ и $ t = \frac{\pi}{2} $.

Таким образом, решение на одном обороте (интервале длиной $2\pi$) будет $ -\frac{\pi}{2} < t < \frac{\pi}{2} $.

Учитывая периодичность функции косинус (период равен $2\pi$), общее решение неравенства записывается в виде добавления $2\pi k$ к концам интервала, где $k$ — любое целое число.

Ответ: $t \in (-\frac{\pi}{2} + 2\pi k; \frac{\pi}{2} + 2\pi k), k \in \mathbb{Z}$.

б) $ \cos t < \frac{\sqrt{2}}{2} $

Сначала найдем значения $t$, для которых $ \cos t = \frac{\sqrt{2}}{2} $. Это табличное значение, и решениями уравнения являются $ t = \pm \arccos(\frac{\sqrt{2}}{2}) + 2\pi k $, то есть $ t = \pm \frac{\pi}{4} + 2\pi k $, где $ k \in \mathbb{Z} $.

На единичной окружности отметим точки, соответствующие углам $ \frac{\pi}{4} $ и $ -\frac{\pi}{4} $ (или, что то же самое, $ \frac{7\pi}{4} $). Проведем через эти точки вертикальную прямую $ x = \frac{\sqrt{2}}{2} $.

Нам нужны точки на окружности, у которых абсцисса $x$ меньше, чем $ \frac{\sqrt{2}}{2} $. Это точки, лежащие левеe прямой $ x = \frac{\sqrt{2}}{2} $.

Двигаясь по окружности против часовой стрелки, мы видим, что искомая дуга начинается в точке $ \frac{\pi}{4} $ и заканчивается в точке $ 2\pi - \frac{\pi}{4} = \frac{7\pi}{4} $.

Следовательно, решение на одном обороте: $ \frac{\pi}{4} < t < \frac{7\pi}{4} $.

Добавляя период $2\pi$, получаем общее решение неравенства.

Ответ: $t \in (\frac{\pi}{4} + 2\pi k; \frac{7\pi}{4} + 2\pi k), k \in \mathbb{Z}$.

в) $ \cos t < 0 $

Обратимся к единичной окружности. Нам нужно найти углы $t$, для которых косинус (абсцисса точки на окружности) отрицателен.

Это точки, расположенные во II и III координатных четвертях, то есть слева от оси Oy.

Граничные точки этой дуги соответствуют углам, для которых $ \cos t = 0 $. Это углы $ t = \frac{\pi}{2} $ и $ t = \frac{3\pi}{2} $.

Двигаясь по окружности против часовой стрелки, мы видим, что искомая дуга начинается в точке $ \frac{\pi}{2} $ и заканчивается в точке $ \frac{3\pi}{2} $.

Таким образом, решение на одном обороте: $ \frac{\pi}{2} < t < \frac{3\pi}{2} $.

Учитывая периодичность косинуса, получаем общее решение.

Ответ: $t \in (\frac{\pi}{2} + 2\pi k; \frac{3\pi}{2} + 2\pi k), k \in \mathbb{Z}$.

г) $ \cos t > \frac{\sqrt{2}}{2} $

Сначала решим уравнение $ \cos t = \frac{\sqrt{2}}{2} $. Его решения: $ t = \pm \frac{\pi}{4} + 2\pi k $, где $ k \in \mathbb{Z} $.

На единичной окружности отметим точки, соответствующие углам $ -\frac{\pi}{4} $ и $ \frac{\pi}{4} $.

Нам нужны точки на окружности, у которых абсцисса $x$ больше, чем $ \frac{\sqrt{2}}{2} $. Это точки, лежащие правее вертикальной прямой $ x = \frac{\sqrt{2}}{2} $.

Эта дуга начинается в точке $ -\frac{\pi}{4} $ и заканчивается в точке $ \frac{\pi}{4} $, если двигаться против часовой стрелки.

Таким образом, решение на одном обороте: $ -\frac{\pi}{4} < t < \frac{\pi}{4} $.

С учетом периода $2\pi$ общее решение неравенства имеет вид:

Ответ: $t \in (-\frac{\pi}{4} + 2\pi k; \frac{\pi}{4} + 2\pi k), k \in \mathbb{Z}$.