Номер 13.42, страница 92, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

Вычислите:

13.42. a) $\sqrt{\sin^2 1 + \sin^2 2 - 2 \sin 1 \cdot \sin 2} + \sqrt{\frac{1}{4} - \sin 1 + \sin^2 1} + \sqrt{1 + \sin^2 2 - 2 \sin 2}$;

б) $\sqrt{\cos^2 6 + \cos^2 7 - 2 \cos 6 \cdot \cos 7} + \sqrt{\frac{1}{4} - \cos 7 + \cos^2 7} + \sqrt{1 + \cos^2 6 - 2 \cos 6}$.

а)

Рассмотрим данное выражение: $ \sqrt{\sin^2 1 + \sin^2 2 - 2 \sin 1 \cdot \sin 2} + \sqrt{\frac{1}{4} - \sin 1 + \sin^2 1} + \sqrt{1 + \sin^2 2 - 2 \sin 2} $

Мы будем упрощать каждое слагаемое по отдельности, используя формулу квадрата разности $a^2 - 2ab + b^2 = (a-b)^2$ и свойство корня $\sqrt{x^2} = |x|$.

1. Первое слагаемое: $ \sqrt{\sin^2 1 + \sin^2 2 - 2 \sin 1 \sin 2} $.
Выражение под корнем является полным квадратом: $ (\sin 2 - \sin 1)^2 $.
$ \sqrt{(\sin 2 - \sin 1)^2} = |\sin 2 - \sin 1| $.
Чтобы раскрыть модуль, сравним значения $\sin 2$ и $\sin 1$. Углы даны в радианах. $\pi \approx 3.14$, $\frac{\pi}{2} \approx 1.57$.
Угол в 1 радиан находится в первой четверти ($0 < 1 < \frac{\pi}{2}$), а угол в 2 радиана — во второй четверти ($\frac{\pi}{2} < 2 < \pi$). Функция синуса положительна в обеих четвертях. Используем формулу приведения: $\sin 2 = \sin(\pi - 2)$.
Сравним $1$ и $\pi - 2$. Так как $\pi - 2 \approx 3.14 - 2 = 1.14$, то $1 < 1.14 < \frac{\pi}{2}$. На интервале $(0; \frac{\pi}{2})$ функция $y = \sin x$ возрастает, поэтому $\sin 1 < \sin(1.14) \approx \sin(\pi - 2) = \sin 2$.
Следовательно, $\sin 2 - \sin 1 > 0$, и модуль раскрывается со знаком плюс: $|\sin 2 - \sin 1| = \sin 2 - \sin 1$.

2. Второе слагаемое: $ \sqrt{\frac{1}{4} - \sin 1 + \sin^2 1} $.
Выражение под корнем можно представить как $\sin^2 1 - 2 \cdot \sin 1 \cdot \frac{1}{2} + (\frac{1}{2})^2$, что является полным квадратом: $(\sin 1 - \frac{1}{2})^2$.
$ \sqrt{(\sin 1 - \frac{1}{2})^2} = |\sin 1 - \frac{1}{2}| $.
Чтобы раскрыть модуль, сравним $\sin 1$ и $\frac{1}{2}$. Мы знаем, что $\sin(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2}$, а $\frac{\pi}{6} \approx \frac{3.14}{6} \approx 0.52$. Так как $1 > \frac{\pi}{6}$ и угол в 1 радиан находится в первой четверти, где синус возрастает, то $\sin 1 > \sin(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2}$.
Следовательно, $\sin 1 - \frac{1}{2} > 0$, и модуль раскрывается со знаком плюс: $|\sin 1 - \frac{1}{2}| = \sin 1 - \frac{1}{2}$.

3. Третье слагаемое: $ \sqrt{1 + \sin^2 2 - 2 \sin 2} $.
Выражение под корнем является полным квадратом: $(1 - \sin 2)^2$ или $(\sin 2 - 1)^2$.
$ \sqrt{(1 - \sin 2)^2} = |1 - \sin 2| $.
Область значений функции синуса [–1; 1], то есть $\sin 2 \le 1$. Равенство достигается при $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$. Так как $2 \neq \frac{\pi}{2} \approx 1.57$, то $\sin 2 < 1$.
Следовательно, $1 - \sin 2 > 0$, и модуль раскрывается со знаком плюс: $|1 - \sin 2| = 1 - \sin 2$.

4. Суммируем полученные выражения:
$(\sin 2 - \sin 1) + (\sin 1 - \frac{1}{2}) + (1 - \sin 2) = \sin 2 - \sin 1 + \sin 1 - \frac{1}{2} + 1 - \sin 2$.
Сокращаем подобные члены: $(\sin 2 - \sin 2) + (-\sin 1 + \sin 1) + (1 - \frac{1}{2}) = 0 + 0 + \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$.

Ответ: $ \frac{1}{2} $

б)

Рассмотрим данное выражение: $ \sqrt{\cos^2 6 + \cos^2 7 - 2 \cos 6 \cdot \cos 7} + \sqrt{\frac{1}{4} - \cos 7 + \cos^2 7} + \sqrt{1 + \cos^2 6 - 2 \cos 6} $

Решаем аналогично пункту а), упрощая каждое слагаемое.

1. Первое слагаемое: $ \sqrt{\cos^2 6 + \cos^2 7 - 2 \cos 6 \cos 7} $.
Выражение под корнем является полным квадратом: $ (\cos 6 - \cos 7)^2 $.
$ \sqrt{(\cos 6 - \cos 7)^2} = |\cos 6 - \cos 7| $.
Чтобы раскрыть модуль, сравним значения $\cos 6$ и $\cos 7$. Углы даны в радианах. $\pi \approx 3.14$, $\frac{3\pi}{2} \approx 4.71$, $2\pi \approx 6.28$.
Угол в 6 радиан находится в четвертой четверти ($\frac{3\pi}{2} < 6 < 2\pi$), где косинус положителен. Угол в 7 радиан находится в первой четверти следующего оборота ($2\pi < 7 < 2\pi + \frac{\pi}{2}$), где косинус также положителен. Сравним значения $\cos 6$ и $\cos 7 = \cos(7 - 2\pi)$.
На интервале $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$ функция $y = \cos x$ четная и убывает при $x \in [0, \frac{\pi}{2})$. Чем ближе угол к 0 (или $2\pi k$), тем больше значение косинуса. Найдем расстояние углов 6 и 7 до ближайшего значения $2\pi k$, то есть до $2\pi$. $|6 - 2\pi| = 2\pi - 6 \approx 6.28 - 6 = 0.28$. $|7 - 2\pi| = 7 - 2\pi \approx 7 - 6.28 = 0.72$. Так как $|6 - 2\pi| < |7 - 2\pi|$, угол 6 "ближе" к точке с максимальным значением косинуса, чем угол 7. Следовательно, $\cos 6 > \cos 7$.
Значит, $\cos 6 - \cos 7 > 0$, и модуль раскрывается со знаком плюс: $|\cos 6 - \cos 7| = \cos 6 - \cos 7$.

2. Второе слагаемое: $ \sqrt{\frac{1}{4} - \cos 7 + \cos^2 7} $.
Выражение под корнем является полным квадратом: $(\cos 7 - \frac{1}{2})^2$.
$ \sqrt{(\cos 7 - \frac{1}{2})^2} = |\cos 7 - \frac{1}{2}| $.
Чтобы раскрыть модуль, сравним $\cos 7$ и $\frac{1}{2}$. Мы знаем, что $\cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}$, а $\frac{\pi}{3} \approx \frac{3.14}{3} \approx 1.05$.
Сравниваем $\cos 7 = \cos(7-2\pi)$ с $\cos(\frac{\pi}{3})$.
$7 - 2\pi \approx 0.72$. Оба угла, $0.72$ и $\frac{\pi}{3}$, находятся в первой четверти. На интервале $(0, \frac{\pi}{2})$ функция $y = \cos x$ убывает. Так как $0.72 < \frac{\pi}{3}$, то $\cos(0.72) > \cos(\frac{\pi}{3})$. Следовательно, $\cos 7 > \frac{1}{2}$, и $\cos 7 - \frac{1}{2} > 0$. Модуль раскрывается со знаком плюс: $|\cos 7 - \frac{1}{2}| = \cos 7 - \frac{1}{2}$.

3. Третье слагаемое: $ \sqrt{1 + \cos^2 6 - 2 \cos 6} $.
Выражение под корнем является полным квадратом: $(1 - \cos 6)^2$.
$ \sqrt{(1 - \cos 6)^2} = |1 - \cos 6| $.
Область значений функции косинуса [–1; 1], то есть $\cos 6 \le 1$. Равенство достигается при $x = 2\pi k$. Так как $6 \neq 2\pi \approx 6.28$, то $\cos 6 < 1$.
Следовательно, $1 - \cos 6 > 0$, и модуль раскрывается со знаком плюс: $|1 - \cos 6| = 1 - \cos 6$.

4. Суммируем полученные выражения:
$(\cos 6 - \cos 7) + (\cos 7 - \frac{1}{2}) + (1 - \cos 6) = \cos 6 - \cos 7 + \cos 7 - \frac{1}{2} + 1 - \cos 6$.
Сокращаем подобные члены: $(\cos 6 - \cos 6) + (-\cos 7 + \cos 7) + (1 - \frac{1}{2}) = 0 + 0 + \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$.

Ответ: $ \frac{1}{2} $