Номер 13.41, страница 92, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

13.41. a) $ \frac{1}{2} $, $ \sin \frac{1}{2} $, $ \sin \frac{13}{24} $;

б) $ \frac{1}{2} $, $ \cos 1 $, $ \cos 1,1 $.

а) Требуется сравнить числа $\frac{1}{2}$, $\sin\frac{1}{2}$ и $\sin\frac{13}{24}$.

1. Сравнение $\frac{1}{2}$ и $\sin\frac{1}{2}$.
Для любого положительного угла $x$, выраженного в радианах, справедливо известное неравенство $\sin x < x$. Применяя это неравенство для $x = \frac{1}{2}$, получаем: $\sin\frac{1}{2} < \frac{1}{2}$.

2. Сравнение $\frac{1}{2}$ и $\sin\frac{13}{24}$.
Для сравнения этих чисел воспользуемся известным значением синуса: $\sin\frac{\pi}{6} = \frac{1}{2}$. Теперь нам нужно сравнить $\sin\frac{13}{24}$ и $\sin\frac{\pi}{6}$. Для этого сравним их аргументы: $\frac{13}{24}$ и $\frac{\pi}{6}$. Оценим значение $\frac{\pi}{6}$, используя приближение $\pi \approx 3.1416$: $\frac{\pi}{6} \approx \frac{3.1416}{6} \approx 0.5236$. Вычислим значение дроби $\frac{13}{24}$: $\frac{13}{24} = 0.541\overline{6}$. Так как $0.541\overline{6} > 0.5236$, то $\frac{13}{24} > \frac{\pi}{6}$. Оба угла, $\frac{13}{24}$ и $\frac{\pi}{6}$, находятся в интервале $(0, \frac{\pi}{2})$, где функция $y = \sin x$ монотонно возрастает. Следовательно, из $\frac{13}{24} > \frac{\pi}{6}$ следует, что $\sin\frac{13}{24} > \sin\frac{\pi}{6}$, то есть $\sin\frac{13}{24} > \frac{1}{2}$.

3. Итог.
Из шага 1 мы знаем, что $\sin\frac{1}{2} < \frac{1}{2}$. Из шага 2 мы знаем, что $\frac{1}{2} < \sin\frac{13}{24}$. Объединив эти два неравенства, получаем итоговый порядок: $\sin\frac{1}{2} < \frac{1}{2} < \sin\frac{13}{24}$.

Ответ: $\sin\frac{1}{2} < \frac{1}{2} < \sin\frac{13}{24}$.

б) Требуется сравнить числа $\frac{1}{2}$, $\cos 1$ и $\cos 1,1$.

1. Сравнение $\cos 1$ и $\cos 1,1$.
Аргументы 1 и 1,1 (в радианах) принадлежат интервалу $(0, \frac{\pi}{2})$, так как $\frac{\pi}{2} \approx 1.57$. На этом интервале функция $y = \cos x$ является монотонно убывающей. Поскольку $1 < 1,1$, для значений косинуса будет справедливо обратное неравенство: $\cos 1 > \cos 1,1$.

2. Сравнение с $\frac{1}{2}$.
Используем известное значение косинуса: $\cos\frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}$. Нам нужно сравнить $\cos 1$ и $\cos 1,1$ с $\cos\frac{\pi}{3}$. Для этого сравним аргументы $1$, $1,1$ и $\frac{\pi}{3}$. Оценим значение $\frac{\pi}{3}$, используя приближение $\pi \approx 3.1416$: $\frac{\pi}{3} \approx \frac{3.1416}{3} \approx 1.0472$.

Теперь сравним аргументы: $1 < 1.0472 < 1,1$, то есть $1 < \frac{\pi}{3} < 1,1$. Поскольку все три аргумента ($1$, $\frac{\pi}{3}$, $1,1$) находятся в интервале $(0, \frac{\pi}{2})$, где косинус убывает, мы можем записать соответствующие неравенства для значений функции: $\cos 1 > \cos\frac{\pi}{3} > \cos 1,1$. Подставляя $\cos\frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}$, получаем: $\cos 1 > \frac{1}{2} > \cos 1,1$.

3. Итог.
Располагая числа в порядке возрастания, получаем: $\cos 1,1 < \frac{1}{2} < \cos 1$.

Ответ: $\cos 1,1 < \frac{1}{2} < \cos 1$.