Номер 13.39, страница 92, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

13.39. a) $sin 2$, $sin 3$, $cos 4$, $cos 5$;

б) $cos 3$, $cos 4$, $cos 6$, $cos 7$;

в) $sin 3$, $sin 4$, $sin 6$, $sin 7$;

г) $cos 2$, $cos 3$, $sin 4$, $sin 5$.

Чтобы расположить числа в порядке возрастания, мы определим их знаки и примерные значения, используя единичную окружность и приближенные значения для $\pi$: $\pi \approx 3.14$, $\pi/2 \approx 1.57$, $3\pi/2 \approx 4.71$, $2\pi \approx 6.28$.

1. Определим знаки чисел.

• Угол 2 радиана: $\pi/2 < 2 < \pi$, это II четверть. Здесь синус положителен: $sin 2 > 0$.
• Угол 3 радиана: $\pi/2 < 3 < \pi$, это II четверть. Здесь синус положителен: $sin 3 > 0$.
• Угол 4 радиана: $\pi < 4 < 3\pi/2$, это III четверть. Здесь косинус отрицателен: $cos 4 < 0$.
• Угол 5 радиан: $3\pi/2 < 5 < 2\pi$, это IV четверть. Здесь косинус положителен: $cos 5 > 0$.

Так как $cos 4$ — единственное отрицательное число, оно является наименьшим.

2. Сравним положительные числа: $sin 2, sin 3, cos 5$. Для этого приведем их к аргументам из первой четверти $(0, \pi/2)$:

• $sin 2 = sin(\pi - 2) \approx sin(3.14 - 2) = sin(1.14)$.
• $sin 3 = sin(\pi - 3) \approx sin(3.14 - 3) = sin(0.14)$.
• $cos 5 = cos(2\pi - 5) \approx cos(6.28 - 5) = cos(1.28)$.

3. Сравним полученные значения: $sin(1.14)$, $sin(0.14)$ и $cos(1.28)$. На интервале $(0, \pi/2)$ функция $sin(x)$ возрастает. Так как $2 < 3$, и оба угла во второй четверти, где синус убывает, то $sin 2 > sin 3$. Таким образом, $sin(1.14) > sin(0.14)$, значит, $sin 3$ — наименьшее из положительных чисел. Осталось сравнить $sin 2$ и $cos 5$. Преобразуем $sin 2 = sin(1.14)$ в косинус: $sin(1.14) = cos(\pi/2 - 1.14) \approx cos(1.57 - 1.14) = cos(0.43)$. Теперь сравним $cos(0.43)$ и $cos(1.28)$. На интервале $(0, \pi/2)$ функция $cos(x)$ убывает. Поскольку $0.43 < 1.28$, то $cos(0.43) > cos(1.28)$. Следовательно, $sin 2 > cos 5$.

4. Итоговый порядок: $cos 4 < sin 3 < cos 5 < sin 2$.

Ответ: $cos 4, sin 3, cos 5, sin 2$.

1. Определим знаки чисел.

• Угол 3 радиана: II четверть, $cos 3 < 0$.
• Угол 4 радиана: III четверть, $cos 4 < 0$.
• Угол 6 радиан: IV четверть, $cos 6 > 0$.
• Угол 7 радиан: $7 \approx 2\pi + 0.72$, I четверть, $cos 7 > 0$.

2. Сравним отрицательные числа: $cos 3$ и $cos 4$. Приведем их к аргументам из первой четверти: $cos 3 = -cos(\pi-3) \approx -cos(0.14)$ и $cos 4 = -cos(4-\pi) \approx -cos(0.86)$. Сравним модули: $|cos 3| = cos(0.14)$ и $|cos 4| = cos(0.86)$. Поскольку $0.14 < 0.86$ и косинус убывает на $(0, \pi/2)$, то $cos(0.14) > cos(0.86)$, то есть $|cos 3| > |cos 4|$. Для отрицательных чисел это означает, что $cos 3 < cos 4$.

3. Сравним положительные числа: $cos 6$ и $cos 7$. Приведем их к аргументам из первой четверти: $cos 6 = cos(2\pi-6) \approx cos(0.28)$ и $cos 7 = cos(7-2\pi) \approx cos(0.72)$. Поскольку $0.28 < 0.72$ и косинус убывает, то $cos(0.28) > cos(0.72)$. Следовательно, $cos 6 > cos 7$.

4. Итоговый порядок: $cos 3 < cos 4 < cos 7 < cos 6$.

Ответ: $cos 3, cos 4, cos 7, cos 6$.

1. Определим знаки чисел.

• Угол 3 радиана: II четверть, $sin 3 > 0$.
• Угол 4 радиана: III четверть, $sin 4 < 0$.
• Угол 6 радиана: IV четверть, $sin 6 < 0$.
• Угол 7 радиан: I четверть, $sin 7 > 0$.

2. Сравним отрицательные числа: $sin 4$ и $sin 6$. Приведем к первой четверти: $sin 4 = -sin(4-\pi) \approx -sin(0.86)$ и $sin 6 = -sin(2\pi-6) \approx -sin(0.28)$. Сравним модули: $|sin 4| = sin(0.86)$ и $|sin 6| = sin(0.28)$. Поскольку $0.86 > 0.28$ и синус возрастает на $(0, \pi/2)$, то $sin(0.86) > sin(0.28)$, то есть $|sin 4| > |sin 6|$. Для отрицательных чисел это означает, что $sin 4 < sin 6$.

3. Сравним положительные числа: $sin 3$ и $sin 7$. Приведем к первой четверти: $sin 3 = sin(\pi-3) \approx sin(0.14)$ и $sin 7 = sin(7-2\pi) \approx sin(0.72)$. Поскольку $0.14 < 0.72$ и синус возрастает, то $sin(0.14) < sin(0.72)$. Следовательно, $sin 3 < sin 7$.

4. Итоговый порядок: $sin 4 < sin 6 < sin 3 < sin 7$.

Ответ: $sin 4, sin 6, sin 3, sin 7$.

1. Определим знаки чисел.

• Угол 2 радиана: II четверть, $cos 2 < 0$.
• Угол 3 радиана: II четверть, $cos 3 < 0$.
• Угол 4 радиана: III четверть, $sin 4 < 0$.
• Угол 5 радиан: IV четверть, $sin 5 < 0$.

2. Все числа отрицательны. Сравним их модули. Чем больше модуль, тем меньше само число. $|cos 2| = |-cos(\pi-2)| = cos(\pi-2) \approx cos(1.14)$. $|cos 3| = |-cos(\pi-3)| = cos(\pi-3) \approx cos(0.14)$. $|sin 4| = |-sin(4-\pi)| = sin(4-\pi) \approx sin(0.86)$. $|sin 5| = |-sin(2\pi-5)| = sin(2\pi-5) \approx sin(1.28)$.

3. Для сравнения приведем все модули к функции синуса: $|cos 2| = cos(1.14) = sin(\pi/2 - 1.14) \approx sin(0.43)$. $|cos 3| = cos(0.14) = sin(\pi/2 - 0.14) \approx sin(1.43)$. $|sin 4| = sin(0.86)$. $|sin 5| = sin(1.28)$.

4. Сравним аргументы синусов: $0.43, 1.43, 0.86, 1.28$. Все они в интервале $(0, \pi/2)$, где синус возрастает. Порядок аргументов: $0.43 < 0.86 < 1.28 < 1.43$. Значит, порядок модулей: $sin(0.43) < sin(0.86) < sin(1.28) < sin(1.43)$. То есть, $|cos 2| < |sin 4| < |sin 5| < |cos 3|$.

5. Поскольку исходные числа отрицательны, их порядок обратен порядку их модулей: $cos 3 < sin 5 < sin 4 < cos 2$.

Ответ: $cos 3, sin 5, sin 4, cos 2$.