Номер 13.36, страница 92, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

Сравните числа $a$ и $b$:

13.36. а) $a = \sin 1$, $b = \cos 1$;

б) $a = \sin 4$, $b = \cos 4$;

В) $a = \sin 2$, $b = \cos 2$;

Г) $a = \sin 7$, $b = \cos 7$.

а) $a = \sin 1, b = \cos 1$

Для сравнения чисел $a$ и $b$ определим, в какой четверти тригонометрической окружности находится угол в 1 радиан. Мы используем приближенное значение $\pi \approx 3.14$. Тогда $\frac{\pi}{2} \approx 1.57$ и $\frac{\pi}{4} \approx 0.785$.

Поскольку $0 < 1 < \frac{\pi}{2}$, угол в 1 радиан находится в первой четверти, где и синус, и косинус положительны.

Сравнение $\sin x$ и $\cos x$ зависит от сравнения $x$ с $\frac{\pi}{4}$. На интервале $(\frac{\pi}{4}, \frac{5\pi}{4})$ выполняется неравенство $\sin x > \cos x$.

Сравним 1 с $\frac{\pi}{4}$: $1 > \frac{\pi}{4} \approx 0.785$.

Так как $1$ принадлежит интервалу $(\frac{\pi}{4}, \frac{5\pi}{4})$, то $\sin 1 > \cos 1$. Следовательно, $a > b$.

Ответ: $a > b$.

б) $a = \sin 4, b = \cos 4$

Определим, в какой четверти находится угол в 4 радиана. Используем приближения: $\pi \approx 3.14$ и $\frac{3\pi}{2} \approx 4.71$.

Поскольку $\pi < 4 < \frac{3\pi}{2}$, угол в 4 радиана находится в третьей четверти. В этой четверти и синус, и косинус отрицательны.

Рассмотрим разность $a - b = \sin 4 - \cos 4$. Преобразуем ее, используя метод вспомогательного угла:

$\sin 4 - \cos 4 = \sqrt{2}(\frac{1}{\sqrt{2}}\sin 4 - \frac{1}{\sqrt{2}}\cos 4) = \sqrt{2}(\cos\frac{\pi}{4}\sin 4 - \sin\frac{\pi}{4}\cos 4) = \sqrt{2}\sin(4 - \frac{\pi}{4})$.

Теперь нужно определить знак выражения $\sin(4 - \frac{\pi}{4})$. Оценим значение аргумента $4 - \frac{\pi}{4}$.

Используя $\pi \approx 3.1416$, получаем $\frac{\pi}{4} \approx 0.7854$.

$4 - \frac{\pi}{4} \approx 4 - 0.7854 = 3.2146$.

Так как $\pi \approx 3.1416$, то $4 - \frac{\pi}{4} > \pi$. С другой стороны, $\frac{3\pi}{2} \approx 4.71$, значит $4 - \frac{\pi}{4} < \frac{3\pi}{2}$.

Таким образом, угол $4 - \frac{\pi}{4}$ находится в третьей четверти, где синус отрицателен: $\sin(4 - \frac{\pi}{4}) < 0$.

Так как $\sqrt{2} > 0$, то произведение $\sqrt{2}\sin(4 - \frac{\pi}{4})$ отрицательно.

Следовательно, $\sin 4 - \cos 4 < 0$, что означает $\sin 4 < \cos 4$. Таким образом, $a < b$.

Ответ: $a < b$.

в) $a = \sin 2, b = \cos 2$

Определим, в какой четверти находится угол в 2 радиана. Используем приближения: $\frac{\pi}{2} \approx 1.57$ и $\pi \approx 3.14$.

Поскольку $\frac{\pi}{2} < 2 < \pi$, угол в 2 радиана находится во второй четверти.

Во второй четверти синус положителен ($\sin 2 > 0$), а косинус отрицателен ($\cos 2 < 0$).

Любое положительное число больше любого отрицательного, поэтому $\sin 2 > \cos 2$.

Следовательно, $a > b$.

Ответ: $a > b$.

г) $a = \sin 7, b = \cos 7$

Определим, в какой четверти находится угол в 7 радиан. Используем приближения: $2\pi \approx 6.28$ и $2\pi + \frac{\pi}{2} \approx 6.28 + 1.57 = 7.85$.

Поскольку $2\pi < 7 < 2\pi + \frac{\pi}{2}$, угол в 7 радиан находится в первой четверти (после совершения полного оборота). В этой четверти и синус, и косинус положительны.

Воспользуемся периодичностью тригонометрических функций, чтобы свести задачу к сравнению значений для угла из основного промежутка $[0, 2\pi)$:

$\sin 7 = \sin(7 - 2\pi)$

$\cos 7 = \cos(7 - 2\pi)$

Нам нужно сравнить $\sin(7 - 2\pi)$ и $\cos(7 - 2\pi)$. Оценим значение аргумента $7 - 2\pi \approx 7 - 6.28 = 0.72$.

Теперь сравним это значение с $\frac{\pi}{4} \approx 0.785$.

Поскольку $0.72 < 0.785$, то есть $7 - 2\pi < \frac{\pi}{4}$.

На интервале $(0, \frac{\pi}{4})$ график косинуса лежит выше графика синуса, поэтому для любого угла $x$ из этого интервала выполняется неравенство $\cos x > \sin x$.

Так как $7 - 2\pi \in (0, \frac{\pi}{4})$, то $\cos(7 - 2\pi) > \sin(7 - 2\pi)$, а значит $\cos 7 > \sin 7$.

Следовательно, $a < b$.

Ответ: $a < b$.