Номер 13.29, страница 91, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

13.29. а) $tg(\pi - t) = -tg t$;

б) $tg(2\pi + t) = tg t$;

В) $ctg(\pi - t) = -ctg t$;

Г) $ctg(2\pi + t) = ctg t$.

а) tg(? ? t) = ?tg t;

Для доказательства данного тождества воспользуемся определением тангенса и формулами приведения.

Определение тангенса: $\text{tg } \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}$.

Применим это определение к левой части равенства:

$\text{tg}(\pi - t) = \frac{\sin(\pi - t)}{\cos(\pi - t)}$

Теперь используем формулы приведения для синуса и косинуса. Угол $(\pi - t)$ находится во второй координатной четверти (если считать $t$ малым острым углом), где синус положителен, а косинус отрицателен.

$\sin(\pi - t) = \sin t$

$\cos(\pi - t) = -\cos t$

Подставим полученные выражения обратно в формулу для тангенса:

$\text{tg}(\pi - t) = \frac{\sin t}{-\cos t} = -\frac{\sin t}{\cos t}$

Так как $\frac{\sin t}{\cos t} = \text{tg } t$, получаем:

$\text{tg}(\pi - t) = -\text{tg } t$

Тождество доказано.

Ответ: Тождество $\text{tg}(\pi - t) = -\text{tg } t$ доказано с помощью определения тангенса и формул приведения.

б) tg(2? + t) = tg t;

Для доказательства этого тождества воспользуемся свойством периодичности тригонометрических функций.

Функция тангенс имеет основной период $\pi$. Это означает, что $\text{tg}(\alpha + k\pi) = \text{tg } \alpha$ для любого целого числа $k$.

В данном случае мы прибавляем $2\pi$, что является кратным периоду $\pi$ (при $k=2$). Следовательно, значение тангенса не изменится.

$\text{tg}(2\pi + t) = \text{tg}(t + 2\pi) = \text{tg } t$

Также можно доказать это через определение тангенса и периодичность синуса и косинуса (их период равен $2\pi$):

$\text{tg}(2\pi + t) = \frac{\sin(2\pi + t)}{\cos(2\pi + t)} = \frac{\sin t}{\cos t} = \text{tg } t$

Тождество доказано.

Ответ: Тождество $\text{tg}(2\pi + t) = \text{tg } t$ является следствием периодичности функции тангенс.

в) ctg(? ? t) = ?ctg t;

Для доказательства данного тождества воспользуемся определением котангенса и формулами приведения.

Определение котангенса: $\text{ctg } \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}$.

Применим это определение к левой части равенства:

$\text{ctg}(\pi - t) = \frac{\cos(\pi - t)}{\sin(\pi - t)}$

Используем те же формулы приведения, что и в пункте а):

$\cos(\pi - t) = -\cos t$

$\sin(\pi - t) = \sin t$

Подставим полученные выражения обратно в формулу для котангенса:

$\text{ctg}(\pi - t) = \frac{-\cos t}{\sin t} = -\frac{\cos t}{\sin t}$

Так как $\frac{\cos t}{\sin t} = \text{ctg } t$, получаем:

$\text{ctg}(\pi - t) = -\text{ctg } t$

Тождество доказано.

Ответ: Тождество $\text{ctg}(\pi - t) = -\text{ctg } t$ доказано с помощью определения котангенса и формул приведения.

г) ctg(2? + t) = ctg t.

Для доказательства этого тождества воспользуемся свойством периодичности тригонометрических функций.

Функция котангенс, так же как и тангенс, имеет основной период $\pi$. Это означает, что $\text{ctg}(\alpha + k\pi) = \text{ctg } \alpha$ для любого целого числа $k$.

В данном случае мы прибавляем $2\pi$, что является кратным периоду $\pi$ (при $k=2$). Следовательно, значение котангенса не изменится.

$\text{ctg}(2\pi + t) = \text{ctg}(t + 2\pi) = \text{ctg } t$

Также можно доказать это через определение котангенса и периодичность синуса и косинуса (их период равен $2\pi$):

$\text{ctg}(2\pi + t) = \frac{\cos(2\pi + t)}{\sin(2\pi + t)} = \frac{\cos t}{\sin t} = \text{ctg } t$

Тождество доказано.

Ответ: Тождество $\text{ctg}(2\pi + t) = \text{ctg } t$ является следствием периодичности функции котангенс.