Номер 13.25, страница 90, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

13.25. a) $\operatorname{tg} 2,5 \cdot \operatorname{ctg} 2,5 + \cos^2 \pi - \sin^2 \frac{\pi}{8} - \cos^2 \frac{\pi}{8};$

б) $\sin^2 \frac{3\pi}{7} - 2 \operatorname{tg} 1 \cdot \operatorname{ctg} 1 + \cos^2 \left(\frac{3\pi}{7}\right) + \sin^2 \frac{5\pi}{2}.$

а) Рассмотрим выражение $ \text{tg}\,2,5 \cdot \text{ctg}\,2,5 + \cos^2\pi - \sin^2\frac{\pi}{8} - \cos^2\frac{\pi}{8} $.
Для его упрощения воспользуемся основными тригонометрическими тождествами и значениями тригонометрических функций.
1. Произведение тангенса и котангенса одного и того же угла равно единице: $ \text{tg}\,\alpha \cdot \text{ctg}\,\alpha = 1 $. Следовательно, $ \text{tg}\,2,5 \cdot \text{ctg}\,2,5 = 1 $.
2. Значение косинуса угла $ \pi $ равно -1: $ \cos\pi = -1 $. Тогда его квадрат равен $ \cos^2\pi = (-1)^2 = 1 $.
3. Сгруппируем последние два слагаемых и вынесем минус за скобку: $ -\sin^2\frac{\pi}{8} - \cos^2\frac{\pi}{8} = -(\sin^2\frac{\pi}{8} + \cos^2\frac{\pi}{8}) $. Согласно основному тригонометрическому тождеству, $ \sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1 $. Значит, $ -(\sin^2\frac{\pi}{8} + \cos^2\frac{\pi}{8}) = -1 $.
4. Теперь подставим все полученные значения в исходное выражение: $ 1 + 1 - 1 = 1 $.
Ответ: $1$

б) Рассмотрим выражение $ \sin^2\frac{3\pi}{7} - 2\,\text{tg}\,1 \cdot \text{ctg}\,1 + \cos^2(-\frac{3\pi}{7}) + \sin^2\frac{5\pi}{2} $.
Упростим выражение по частям.
1. Сгруппируем первое и третье слагаемые: $ \sin^2\frac{3\pi}{7} + \cos^2(-\frac{3\pi}{7}) $. Функция косинус является четной, то есть $ \cos(-x) = \cos(x) $. Поэтому $ \cos^2(-\frac{3\pi}{7}) = \cos^2\frac{3\pi}{7} $. Тогда сумма примет вид $ \sin^2\frac{3\pi}{7} + \cos^2\frac{3\pi}{7} $. По основному тригонометрическому тождеству $ \sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1 $, значение этого выражения равно 1.
2. Упростим член $ -2\,\text{tg}\,1 \cdot \text{ctg}\,1 $. Так как $ \text{tg}\,\alpha \cdot \text{ctg}\,\alpha = 1 $, то $ -2\,\text{tg}\,1 \cdot \text{ctg}\,1 = -2 \cdot 1 = -2 $.
3. Найдем значение $ \sin^2\frac{5\pi}{2} $. Угол $ \frac{5\pi}{2} $ можно представить как $ \frac{4\pi}{2} + \frac{\pi}{2} = 2\pi + \frac{\pi}{2} $. Поскольку функция синус периодична с периодом $ 2\pi $, то $ \sin\frac{5\pi}{2} = \sin(2\pi + \frac{\pi}{2}) = \sin\frac{\pi}{2} = 1 $. Следовательно, $ \sin^2\frac{5\pi}{2} = 1^2 = 1 $.
4. Подставим все вычисленные значения в исходное выражение: $ 1 - 2 + 1 = 0 $.
Ответ: $0$