Номер 13.19, страница 90, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

13.19. Решите уравнение:

а) $|\sin t| = 1$;

б) $\sqrt{1 - \sin^2 t} = \frac{1}{2}$;

в) $|\cos t| = 1$;

г) $\sqrt{1 - \cos^2 t} = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Данное уравнение равносильно совокупности двух уравнений: $\sin t = 1$ или $\sin t = -1$.

Решением уравнения $\sin t = 1$ является серия корней $t = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Решением уравнения $\sin t = -1$ является серия корней $t = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

На единичной окружности этим решениям соответствуют точки $(0, 1)$ и $(0, -1)$. Углы, соответствующие этим точкам, отстоят друг от друга на $\pi$. Поэтому две серии решений можно объединить в одну.

Ответ: $t = \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Используем основное тригонометрическое тождество $\sin^2 t + \cos^2 t = 1$, из которого следует, что $1 - \sin^2 t = \cos^2 t$.

Подставим это выражение в исходное уравнение:

$\sqrt{\cos^2 t} = \frac{1}{2}$

По определению квадратного корня $\sqrt{a^2} = |a|$, поэтому уравнение принимает вид:

$|\cos t| = \frac{1}{2}$

Это уравнение равносильно совокупности двух уравнений: $\cos t = \frac{1}{2}$ или $\cos t = -\frac{1}{2}$.

Решением уравнения $\cos t = \frac{1}{2}$ является $t = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Решением уравнения $\cos t = -\frac{1}{2}$ является $t = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Эти четыре серии корней на единичной окружности ($\frac{\pi}{3}, \frac{2\pi}{3}, \frac{4\pi}{3}, \frac{5\pi}{3}$ и т.д.) можно объединить в одну общую формулу.

Ответ: $t = \pi k \pm \frac{\pi}{3}, k \in \mathbb{Z}$.

Данное уравнение равносильно совокупности двух уравнений: $\cos t = 1$ или $\cos t = -1$.

Решением уравнения $\cos t = 1$ является серия корней $t = 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Решением уравнения $\cos t = -1$ является серия корней $t = \pi + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

На единичной окружности этим решениям соответствуют точки $(1, 0)$ и $(-1, 0)$. Углы, соответствующие этим точкам, отстоят друг от друга на $\pi$. Поэтому две серии решений можно объединить.

Ответ: $t = \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Используем основное тригонометрическое тождество $\sin^2 t + \cos^2 t = 1$, из которого следует, что $1 - \cos^2 t = \sin^2 t$.

Подставим это выражение в исходное уравнение:

$\sqrt{\sin^2 t} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

По определению квадратного корня $\sqrt{a^2} = |a|$, поэтому уравнение принимает вид:

$|\sin t| = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Это уравнение равносильно совокупности двух уравнений: $\sin t = \frac{\sqrt{2}}{2}$ или $\sin t = -\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Решениями являются углы, для которых синус равен $\frac{\sqrt{2}}{2}$ (например, $\frac{\pi}{4}$ и $\frac{3\pi}{4}$) или $-\frac{\sqrt{2}}{2}$ (например, $\frac{5\pi}{4}$ и $\frac{7\pi}{4}$).

Все эти четыре точки на единичной окружности расположены симметрично и отстоят друг от друга на угол $\frac{\pi}{2}$. Поэтому все решения можно описать одной формулой.

Ответ: $t = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z}$.