Номер 13.13, страница 89, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

13.13. a) $ \sin 10 $;

б) $ \cos (-12) $;

в) $ \sin (-15) $;

г) $ \cos 8 $.

а)

Чтобы определить знак выражения $\sin 10$, найдем, в какой четверти единичной окружности находится угол, равный 10 радианам. Для этого сравним число 10 с числами, кратными $\pi \approx 3.14159$.
Вычислим границы четвертей, ближайшие к 10:
$3\pi \approx 3 \cdot 3.14159 = 9.42477$
$\frac{7\pi}{2} = 3.5\pi \approx 3.5 \cdot 3.14159 = 10.9955$
Поскольку $9.42477 < 10 < 10.9955$, мы можем заключить, что $3\pi < 10 < \frac{7\pi}{2}$.
Данный интервал соответствует третьей координатной четверти (так как $3\pi = 2\pi + \pi$ и $\frac{7\pi}{2} = 2\pi + \frac{3\pi}{2}$). В третьей четверти синус принимает отрицательные значения.
Следовательно, $\sin 10 < 0$.

Ответ: $\sin 10 < 0$.

б)

Для определения знака $\cos(-12)$, воспользуемся свойством четности косинуса: $\cos(-x) = \cos(x)$. Таким образом, $\cos(-12) = \cos(12)$.
Теперь определим, в какой четверти находится угол в 12 радиан. Сравним 12 с числами, кратными $\pi$.
Вычислим границы четвертей, ближайшие к 12:
$\frac{7\pi}{2} = 3.5\pi \approx 10.9955$
$4\pi \approx 4 \cdot 3.14159 = 12.56636$
Поскольку $10.9955 < 12 < 12.56636$, мы можем заключить, что $\frac{7\pi}{2} < 12 < 4\pi$.
Данный интервал соответствует четвертой координатной четверти (так как $\frac{7\pi}{2} = 2\pi + \frac{3\pi}{2}$ и $4\pi = 2\pi + 2\pi$). В четвертой четверти косинус принимает положительные значения.
Следовательно, $\cos(-12) > 0$.

Ответ: $\cos(-12) > 0$.

в)

Для определения знака $\sin(-15)$, воспользуемся свойством нечетности синуса: $\sin(-x) = -\sin(x)$. Таким образом, $\sin(-15) = -\sin(15)$.
Знак $\sin(-15)$ противоположен знаку $\sin(15)$. Определим знак $\sin(15)$, найдя четверть для угла в 15 радиан.
Вычислим границы четвертей, ближайшие к 15:
$\frac{9\pi}{2} = 4.5\pi \approx 4.5 \cdot 3.14159 = 14.13715$
$5\pi \approx 5 \cdot 3.14159 = 15.70795$
Поскольку $14.13715 < 15 < 15.70795$, мы можем заключить, что $\frac{9\pi}{2} < 15 < 5\pi$.
Данный интервал соответствует второй координатной четверти (поскольку $\frac{9\pi}{2} = 4\pi + \frac{\pi}{2}$ и $5\pi = 4\pi + \pi$). Во второй четверти синус принимает положительные значения, то есть $\sin(15) > 0$.
Отсюда следует, что $\sin(-15) = -\sin(15) < 0$.

Ответ: $\sin(-15) < 0$.

г)

Чтобы определить знак $\cos 8$, найдем, в какой четверти находится угол в 8 радиан. Сравним 8 с числами, кратными $\pi$.
Вычислим границы четвертей, ближайшие к 8:
$\frac{5\pi}{2} = 2.5\pi \approx 2.5 \cdot 3.14159 = 7.85395$
$3\pi \approx 3 \cdot 3.14159 = 9.42477$
Поскольку $7.85395 < 8 < 9.42477$, мы можем заключить, что $\frac{5\pi}{2} < 8 < 3\pi$.
Данный интервал соответствует второй координатной четверти (поскольку $\frac{5\pi}{2} = 2\pi + \frac{\pi}{2}$ и $3\pi = 2\pi + \pi$). Во второй четверти косинус принимает отрицательные значения.
Следовательно, $\cos 8 < 0$.

Ответ: $\cos 8 < 0$.