Номер 13.8, страница 89, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

13.8. a) $\cos 1 + \cos(1 + \pi) + \sin\left(-\frac{\pi}{3}\right) + \cos\left(-\frac{\pi}{6}\right)$;

б) $\sin 2 + \sin(2 + \pi) + \cos^2\left(-\frac{\pi}{12}\right) + \sin^2 \frac{\pi}{12}$.

а) $cos 1 + cos(1 + \pi) + sin(\frac{\pi}{3}) + cos(-\frac{\pi}{6})$

Для упрощения данного выражения воспользуемся формулами приведения и свойствами четности тригонометрических функций.

1. Применим формулу приведения $cos(\alpha + \pi) = -cos(\alpha)$. Для нашего случая, где $\alpha = 1$:
$cos(1 + \pi) = -cos(1)$.

2. Воспользуемся свойством четности функции косинус: $cos(-x) = cos(x)$. Для нашего случая, где $x = \frac{\pi}{6}$:
$cos(-\frac{\pi}{6}) = cos(\frac{\pi}{6})$.

3. Подставим полученные выражения и известные табличные значения в исходное выражение:
$cos 1 + (-cos 1) + sin(\frac{\pi}{3}) + cos(\frac{\pi}{6})$

Мы знаем, что $sin(\frac{\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ и $cos(\frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
Подставляем эти значения:
$cos 1 - cos 1 + \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}$

Слагаемые $cos 1$ и $-cos 1$ взаимно уничтожаются. Складываем оставшиеся члены:
$0 + \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} = 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}$.

Ответ: $\sqrt{3}$

б) $sin 2 + sin(2 + \pi) + cos^{2}(-\frac{\pi}{12}) + sin^{2}\frac{\pi}{12}$

Для упрощения этого выражения воспользуемся формулами приведения, свойством четности косинуса и основным тригонометрическим тождеством.

1. Применим формулу приведения $sin(\alpha + \pi) = -sin(\alpha)$. Для нашего случая, где $\alpha = 2$:
$sin(2 + \pi) = -sin(2)$.

2. Воспользуемся свойством четности функции косинус: $cos(-x) = cos(x)$. Следовательно:
$cos^{2}(-\frac{\pi}{12}) = (cos(-\frac{\pi}{12}))^2 = (cos(\frac{\pi}{12}))^2 = cos^{2}(\frac{\pi}{12})$.

3. Подставим упрощенные части в исходное выражение:
$sin 2 + (-sin 2) + cos^{2}(\frac{\pi}{12}) + sin^{2}(\frac{\pi}{12})$

Слагаемые $sin 2$ и $-sin 2$ взаимно уничтожаются:
$0 + cos^{2}(\frac{\pi}{12}) + sin^{2}(\frac{\pi}{12})$

4. Теперь применим основное тригонометрическое тождество $sin^2(x) + cos^2(x) = 1$. В нашем случае $x = \frac{\pi}{12}$:
$cos^{2}(\frac{\pi}{12}) + sin^{2}(\frac{\pi}{12}) = 1$.

Таким образом, значение всего выражения равно 1.

Ответ: 1