Номер 13.7, страница 88, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

Вычислите:

13.7. a) $ \sin^2 (1.5 + 32\pi) + \cos^2 1.5 + \cos \left(-\frac{\pi}{4}\right) + \sin \left(-\frac{\pi}{6}\right); $

б) $ \cos^2 \left(\frac{\pi}{8} + 4\pi\right) + \sin^2 \left(\frac{\pi}{8} - 44\pi\right). $

a) $ \sin^2(1,5 + 32\pi) + \cos^2 1,5 + \cos(-\frac{\pi}{4}) + \sin(-\frac{\pi}{6}) $

Для решения воспользуемся свойствами тригонометрических функций.

1. Периодичность синуса. Период функции синус равен $2\pi$. Это означает, что $ \sin(x + 2\pi k) = \sin(x) $ для любого целого $k$. В нашем случае $ 32\pi = 16 \cdot 2\pi $, поэтому $k=16$. Следовательно, $ \sin(1,5 + 32\pi) = \sin(1,5) $, а $ \sin^2(1,5 + 32\pi) = \sin^2(1,5) $.

Выражение принимает вид: $ \sin^2(1,5) + \cos^2(1,5) + \cos(-\frac{\pi}{4}) + \sin(-\frac{\pi}{6}) $.

2. Основное тригонометрическое тождество. Согласно тождеству, $ \sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1 $. Применим его к первым двум слагаемым: $ \sin^2(1,5) + \cos^2(1,5) = 1 $.

3. Четность и нечетность функций. Косинус — четная функция, то есть $ \cos(-\alpha) = \cos(\alpha) $. Синус — нечетная функция, то есть $ \sin(-\alpha) = -\sin(\alpha) $.

$ \cos(-\frac{\pi}{4}) = \cos(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2} $

$ \sin(-\frac{\pi}{6}) = -\sin(\frac{\pi}{6}) = -\frac{1}{2} $

4. Итоговое вычисление. Подставим все найденные значения в выражение:

$ 1 + \frac{\sqrt{2}}{2} + (-\frac{1}{2}) = 1 + \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{1}{2} = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{1+\sqrt{2}}{2} $.

Ответ: $ \frac{1+\sqrt{2}}{2} $.

б) $ \cos^2(\frac{\pi}{8} + 4\pi) + \sin^2(\frac{\pi}{8} - 44\pi) $

Для решения воспользуемся периодичностью и основными тождествами тригонометрии.

1. Периодичность косинуса и синуса. Период обеих функций равен $2\pi$.

Для первого слагаемого: $ 4\pi = 2 \cdot 2\pi $. Таким образом, $ \cos(\frac{\pi}{8} + 4\pi) = \cos(\frac{\pi}{8}) $, и, соответственно, $ \cos^2(\frac{\pi}{8} + 4\pi) = \cos^2(\frac{\pi}{8}) $.

Для второго слагаемого: $ -44\pi = -22 \cdot 2\pi $. Таким образом, $ \sin(\frac{\pi}{8} - 44\pi) = \sin(\frac{\pi}{8}) $, и, соответственно, $ \sin^2(\frac{\pi}{8} - 44\pi) = \sin^2(\frac{\pi}{8}) $.

2. Упрощение выражения. После применения свойства периодичности исходное выражение принимает вид:

$ \cos^2(\frac{\pi}{8}) + \sin^2(\frac{\pi}{8}) $

3. Основное тригонометрическое тождество. Согласно тождеству $ \cos^2\alpha + \sin^2\alpha = 1 $, при $ \alpha = \frac{\pi}{8} $ получаем:

$ \cos^2(\frac{\pi}{8}) + \sin^2(\frac{\pi}{8}) = 1 $

Ответ: $1$.