Номер 12.29, страница 87, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

12.29. а) $4x^2 - 1 \le 0;$

б) $1 - 2y^2 < 0;$

В) $3 - 4y^2 > 0;$

Г) $2x^2 - 1 \ge 0.$

а) $4x^2 - 1 \le 0$

Это квадратное неравенство. Для его решения найдем корни соответствующего уравнения $4x^2 - 1 = 0$.

Используем формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:

$(2x)^2 - 1^2 = 0$

$(2x - 1)(2x + 1) = 0$

Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю:

$2x - 1 = 0 \implies 2x = 1 \implies x_1 = \frac{1}{2}$

$2x + 1 = 0 \implies 2x = -1 \implies x_2 = -\frac{1}{2}$

Теперь рассмотрим функцию $y = 4x^2 - 1$. Ее график — парабола, ветви которой направлены вверх, так как коэффициент при $x^2$ (равный 4) положителен. Парабола пересекает ось Ox в точках $x = -\frac{1}{2}$ и $x = \frac{1}{2}$.

Нам нужно найти, где $y \le 0$, то есть где парабола находится на оси Ox или ниже нее. Это происходит на отрезке между корнями.

Таким образом, решение неравенства есть промежуток $[-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}]$.

Ответ: $x \in [-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}]$

б) $1 - 2y^2 < 0$

Перенесем 1 в правую часть:

$-2y^2 < -1$

Умножим обе части на -1, изменив знак неравенства на противоположный:

$2y^2 > 1$

$y^2 > \frac{1}{2}$

Найдем корни уравнения $y^2 = \frac{1}{2}$:

$y_1 = \sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$y_2 = -\sqrt{\frac{1}{2}} = -\frac{1}{\sqrt{2}} = -\frac{\sqrt{2}}{2}$

Рассмотрим функцию $f(y) = 1 - 2y^2$. Ее график — парабола, ветви которой направлены вниз (коэффициент при $y^2$ равен -2, что меньше нуля). Парабола пересекает ось Oy в точках $y = -\frac{\sqrt{2}}{2}$ и $y = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Неравенство $1 - 2y^2 < 0$ выполняется там, где график функции находится ниже оси Oy. Для параболы с ветвями вниз это происходит за пределами ее корней.

Следовательно, решение неравенства: $y < -\frac{\sqrt{2}}{2}$ или $y > \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Ответ: $y \in (-\infty, -\frac{\sqrt{2}}{2}) \cup (\frac{\sqrt{2}}{2}, \infty)$

в) $3 - 4y^2 > 0$

Перенесем $4y^2$ в правую часть:

$3 > 4y^2$

$4y^2 < 3$

$y^2 < \frac{3}{4}$

Найдем корни уравнения $y^2 = \frac{3}{4}$:

$y_1 = \sqrt{\frac{3}{4}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$y_2 = -\sqrt{\frac{3}{4}} = -\frac{\sqrt{3}}{2}$

Рассмотрим функцию $f(y) = 3 - 4y^2$. Ее график — парабола с ветвями, направленными вниз (коэффициент при $y^2$ равен -4). Парабола пересекает ось Oy в точках $y = -\frac{\sqrt{3}}{2}$ и $y = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Нам нужно найти, где $f(y) > 0$, то есть где парабола находится выше оси Oy. Это происходит на интервале между корнями.

Таким образом, решение неравенства есть интервал $(-\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2})$.

Ответ: $y \in (-\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2})$

г) $2x^2 - 1 \ge 0$

Перенесем 1 в правую часть:

$2x^2 \ge 1$

$x^2 \ge \frac{1}{2}$

Найдем корни уравнения $x^2 = \frac{1}{2}$:

$x_1 = \sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$x_2 = -\sqrt{\frac{1}{2}} = -\frac{\sqrt{2}}{2}$

Рассмотрим функцию $y = 2x^2 - 1$. Ее график — парабола с ветвями, направленными вверх (коэффициент при $x^2$ равен 2). Парабола пересекает ось Ox в точках $x = -\frac{\sqrt{2}}{2}$ и $x = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Неравенство $2x^2 - 1 \ge 0$ выполняется там, где график функции находится на оси Ox или выше нее. Для параболы с ветвями вверх это происходит в самих корнях и за их пределами.

Следовательно, решение неравенства: $x \le -\frac{\sqrt{2}}{2}$ или $x \ge \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Ответ: $x \in (-\infty, -\frac{\sqrt{2}}{2}] \cup [\frac{\sqrt{2}}{2}, \infty)$