Номер 12.27, страница 87, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

12.27. а) $x + y \le 1$;

б) $x - y > -1$;

в) $x + y > -1$;

г) $x - y \le 1$.

а) $x + y \le 1$

Решением этого неравенства является множество точек на координатной плоскости, представляющее собой полуплоскость. Чтобы его найти, сначала построим граничную прямую, уравнение которой получается заменой знака неравенства на знак равенства: $x + y = 1$.

Выразим $y$ через $x$, чтобы получить уравнение прямой в явном виде: $y = -x + 1$. Это прямая с угловым коэффициентом $-1$ и пересекающая ось $y$ в точке $(0, 1)$. Для ее построения найдем две точки. Например, если $x = 0$, то $y = 1$ (точка $(0, 1)$), а если $y = 0$, то $x = 1$ (точка $(1, 0)$).

Поскольку знак неравенства $\le$ (меньше или равно), он является нестрогим. Это означает, что точки, лежащие на самой прямой $y = -x + 1$, также являются решениями. На графике такая прямая изображается сплошной линией.

Теперь определим, какую из двух полуплоскостей, на которые прямая делит плоскость, нужно заштриховать. Для этого возьмем произвольную контрольную точку, не лежащую на прямой. Удобнее всего использовать начало координат — точку $(0, 0)$. Подставим ее координаты в исходное неравенство: $0 + 0 \le 1$, что дает $0 \le 1$.

Это верное утверждение. Следовательно, решением является та полуплоскость, в которой лежит точка $(0, 0)$. Это область ниже прямой $y = -x + 1$.

Ответ: Множество решений — это замкнутая полуплоскость, расположенная ниже прямой $y = -x + 1$, включая саму прямую.

б) $x - y > -1$

Граничная прямая для этого неравенства имеет уравнение $x - y = -1$. Выразим $y$ через $x$: $-y = -x - 1$, что эквивалентно $y = x + 1$. Это прямая с угловым коэффициентом $1$, проходящая через точку $(0, 1)$. Для построения найдем еще одну точку: если $y=0$, то $x=-1$ (точка $(-1, 0)$).

Знак неравенства $>$ (больше) — строгий. Это значит, что точки на самой прямой $y = x + 1$ не входят в множество решений. На графике такая прямая изображается пунктирной (штриховой) линией.

Для определения нужной полуплоскости снова воспользуемся контрольной точкой $(0, 0)$. Подставляем в исходное неравенство: $0 - 0 > -1$, что дает $0 > -1$.

Это верное утверждение. Таким образом, решением является полуплоскость, содержащая начало координат. Это область, расположенная ниже прямой $y = x + 1$.

Ответ: Множество решений — это открытая полуплоскость, расположенная ниже прямой $y = x + 1$ (сама прямая не включается в решение).

в) $x + y > -1$

Граничная прямая задается уравнением $x + y = -1$. В явном виде это $y = -x - 1$. Прямая имеет угловой коэффициент $-1$ и проходит через точки $(0, -1)$ и $(-1, 0)$.

Знак неравенства $>$ (строгий), поэтому точки на прямой $y = -x - 1$ не являются решениями. Прямая изображается пунктирной линией.

Возьмем контрольную точку $(0, 0)$ и подставим ее координаты в неравенство: $0 + 0 > -1$, что дает $0 > -1$.

Неравенство верное, значит, решением является полуплоскость, в которой находится точка $(0, 0)$. Это область выше прямой $y = -x - 1$.

Ответ: Множество решений — это открытая полуплоскость, расположенная выше прямой $y = -x - 1$ (сама прямая не включается в решение).

г) $x - y \le 1$

Граничная прямая описывается уравнением $x - y = 1$. Выразим $y$: $-y = -x + 1$, или $y = x - 1$. Это прямая с угловым коэффициентом $1$, проходящая через точки $(0, -1)$ и $(1, 0)$.

Знак неравенства $\le$ (нестрогий), поэтому точки на прямой $y = x - 1$ являются частью решения. Прямая изображается сплошной линией.

Для определения нужной полуплоскости возьмем контрольную точку $(0, 0)$. Подставим в исходное неравенство: $0 - 0 \le 1$, что дает $0 \le 1$.

Это верное утверждение. Следовательно, решением является полуплоскость, содержащая начало координат. Чтобы точно определить ее положение, можно преобразовать само неравенство: $x - y \le 1 \Rightarrow -y \le -x + 1 \Rightarrow y \ge x - 1$ (при умножении на $-1$ знак неравенства меняется на противоположный). Неравенство $y \ge x - 1$ означает, что решением являются все точки на прямой $y = x - 1$ и выше нее.

Ответ: Множество решений — это замкнутая полуплоскость, расположенная выше прямой $y = x - 1$, включая саму прямую.