Номер 12.22, страница 87, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

12.22. a) $x > -\frac{\sqrt{3}}{2}$;

б) $x < \frac{\sqrt{2}}{2}$;

в) $x < -\frac{\sqrt{2}}{2}$;

г) $x > -\frac{1}{2}$.

Задачи в данном номере, по всей видимости, представляют собой тригонометрические неравенства, в которых была пропущена сама функция. Наиболее вероятно, что это неравенства вида $\cos(x) > a$ или $\sin(x) > a$, так как числовые значения являются стандартными для этих функций. Решим эти задачи, предположив, что имеется в виду функция косинуса.

а)

Предположим, что требуется решить неравенство $\cos(x) > -\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Для решения этого неравенства воспользуемся единичной тригонометрической окружностью. Сначала найдем углы, для которых косинус равен $-\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Уравнение $\cos(x) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$ имеет решения $x = \pm \arccos(-\frac{\sqrt{3}}{2}) + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Так как $\arccos(-\frac{\sqrt{3}}{2}) = \pi - \arccos(\frac{\sqrt{3}}{2}) = \pi - \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6}$, то граничными точками на одном обороте окружности являются $x_1 = \frac{5\pi}{6}$ и $x_2 = -\frac{5\pi}{6}$.

Неравенство $\cos(x) > -\frac{\sqrt{3}}{2}$ выполняется для тех точек на единичной окружности, абсцисса (косинус) которых больше, чем $-\frac{\sqrt{3}}{2}$. Это соответствует дуге окружности, расположенной правее вертикальной прямой, проходящей через точку с абсциссой $-\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Эта дуга соответствует углам, заключенным в интервале от $-\frac{5\pi}{6}$ до $\frac{5\pi}{6}$.

Учитывая периодичность функции косинуса (период $2\pi$), общее решение неравенства записывается в виде двойного неравенства:

$-\frac{5\pi}{6} + 2\pi k < x < \frac{5\pi}{6} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x \in (-\frac{5\pi}{6} + 2\pi k; \frac{5\pi}{6} + 2\pi k), k \in \mathbb{Z}$.

б)

Предположим, что требуется решить неравенство $\cos(x) < \frac{\sqrt{2}}{2}$.

На единичной окружности найдем углы, для которых $\cos(x) = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Решениями этого уравнения являются $x = \pm \arccos(\frac{\sqrt{2}}{2}) + 2\pi k = \pm \frac{\pi}{4} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Граничные точки на одном обороте: $x_1 = \frac{\pi}{4}$ и $x_2 = -\frac{\pi}{4}$ (или $x_2 = \frac{7\pi}{4}$).

Неравенство $\cos(x) < \frac{\sqrt{2}}{2}$ выполняется для точек на единичной окружности, абсцисса которых меньше, чем $\frac{\sqrt{2}}{2}$. Это соответствует дуге окружности, расположенной левее прямой, проходящей через точку с абсциссой $\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Эта дуга соответствует углам от $\frac{\pi}{4}$ до $\frac{7\pi}{4}$ при обходе против часовой стрелки.

Таким образом, решение на одном периоде: $\frac{\pi}{4} < x < \frac{7\pi}{4}$.

Общее решение с учетом периода $2\pi$:

$\frac{\pi}{4} + 2\pi k < x < \frac{7\pi}{4} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x \in (\frac{\pi}{4} + 2\pi k; \frac{7\pi}{4} + 2\pi k), k \in \mathbb{Z}$.

в)

Предположим, что требуется решить неравенство $\cos(x) < -\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Найдем углы, для которых $\cos(x) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Решениями уравнения являются $x = \pm \arccos(-\frac{\sqrt{2}}{2}) + 2\pi k = \pm \frac{3\pi}{4} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Граничные точки на одном обороте: $x_1 = \frac{3\pi}{4}$ и $x_2 = -\frac{3\pi}{4}$ (или $x_2 = \frac{5\pi}{4}$).

Неравенство $\cos(x) < -\frac{\sqrt{2}}{2}$ выполняется для точек на единичной окружности, абсцисса которых меньше, чем $-\frac{\sqrt{2}}{2}$. Это соответствует дуге окружности, расположенной левее прямой, проходящей через точку с абсциссой $-\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Эта дуга соответствует углам от $\frac{3\pi}{4}$ до $\frac{5\pi}{4}$ при обходе против часовой стрелки.

Решение на одном периоде: $\frac{3\pi}{4} < x < \frac{5\pi}{4}$.

Общее решение с учетом периода $2\pi$:

$\frac{3\pi}{4} + 2\pi k < x < \frac{5\pi}{4} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x \in (\frac{3\pi}{4} + 2\pi k; \frac{5\pi}{4} + 2\pi k), k \in \mathbb{Z}$.

г)

Предположим, что требуется решить неравенство $\cos(x) > \frac{1}{2}$.

Найдем углы, для которых $\cos(x) = \frac{1}{2}$.

Решениями уравнения являются $x = \pm \arccos(\frac{1}{2}) + 2\pi k = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Граничные точки на одном обороте: $x_1 = \frac{\pi}{3}$ и $x_2 = -\frac{\pi}{3}$.

Неравенство $\cos(x) > \frac{1}{2}$ выполняется для точек на единичной окружности, абсцисса которых больше, чем $\frac{1}{2}$. Это соответствует дуге окружности, расположенной правее прямой, проходящей через точку с абсциссой $\frac{1}{2}$.

Эта дуга соответствует углам, заключенным в интервале от $-\frac{\pi}{3}$ до $\frac{\pi}{3}$.

Решение на одном периоде: $-\frac{\pi}{3} < x < \frac{\pi}{3}$.

Общее решение с учетом периода $2\pi$:

$-\frac{\pi}{3} + 2\pi k < x < \frac{\pi}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x \in (-\frac{\pi}{3} + 2\pi k; \frac{\pi}{3} + 2\pi k), k \in \mathbb{Z}$.