Номер 12.25, страница 87, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

12.25. а) $\left\{\begin{array}{l}x > 0, \\y < 0;\end{array}\right.$

б) $\left\{\begin{array}{l}x < 0, \\y > -\frac{1}{2};\end{array}\right.$

в) $\left\{\begin{array}{l}x > -\frac{\sqrt{2}}{2}, \\y > \frac{1}{2};\end{array}\right.$

г) $\left\{\begin{array}{l}x < \frac{1}{2}, \\y < \frac{\sqrt{3}}{2}.\end{array}\right.$

Предполагается, что вопрос к задаче следующий: "В какой координатной четверти числовой окружности расположена точка, соответствующая числу $t$, если $x = \cos(t)$ и $y = \sin(t)$?". Для решения каждой системы неравенств мы найдем соответствующий ей интервал углов $t$, а затем определим, в какой четверти находится середина этого интервала.

а) Дана система неравенств:

$\begin{cases} x > 0 \\ y < 0 \end{cases}$

Подставляя $x = \cos(t)$ и $y = \sin(t)$, получаем:

$\begin{cases} \cos(t) > 0 \\ \sin(t) < 0 \end{cases}$

Эти условия однозначно определяют, что точка находится в IV координатной четверти. Углы $t$, удовлетворяющие этим условиям, лежат в интервале $(\frac{3\pi}{2}, 2\pi)$.

Середина этого интервала: $t_{mid} = \frac{\frac{3\pi}{2} + 2\pi}{2} = \frac{\frac{7\pi}{2}}{2} = \frac{7\pi}{4}$.

Угол $t = \frac{7\pi}{4}$ находится в IV четверти, так как $\frac{3\pi}{2} < \frac{7\pi}{4} < 2\pi$.

Ответ: IV четверть.

б) Дана система неравенств:

$\begin{cases} x < 0 \\ y > -\frac{1}{2} \end{cases}$

Подставляя $x = \cos(t)$ и $y = \sin(t)$, получаем:

$\begin{cases} \cos(t) < 0 \\ \sin(t) > -\frac{1}{2} \end{cases}$

Первое неравенство, $\cos(t) < 0$, выполняется для углов $t$ из интервала $(\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2})$.

Второе неравенство, $\sin(t) > -\frac{1}{2}$, выполняется для углов $t$ из интервала $(-\frac{\pi}{6}, \frac{7\pi}{6})$.

Пересечением этих двух интервалов является интервал $(\frac{\pi}{2}, \frac{7\pi}{6})$.

Найдем середину этого интервала: $t_{mid} = \frac{\frac{\pi}{2} + \frac{7\pi}{6}}{2} = \frac{\frac{3\pi}{6} + \frac{7\pi}{6}}{2} = \frac{\frac{10\pi}{6}}{2} = \frac{5\pi}{6}$.

Угол $t = \frac{5\pi}{6}$ находится во II четверти, так как $\frac{\pi}{2} < \frac{5\pi}{6} < \pi$.

Ответ: II четверть.

в) Дана система неравенств:

$\begin{cases} x > -\frac{\sqrt{2}}{2} \\ y > \frac{1}{2} \end{cases}$

Подставляя $x = \cos(t)$ и $y = \sin(t)$, получаем:

$\begin{cases} \cos(t) > -\frac{\sqrt{2}}{2} \\ \sin(t) > \frac{1}{2} \end{cases}$

Первое неравенство, $\cos(t) > -\frac{\sqrt{2}}{2}$, выполняется для углов $t$ из интервала $(-\frac{3\pi}{4}, \frac{3\pi}{4})$.

Второе неравенство, $\sin(t) > \frac{1}{2}$, выполняется для углов $t$ из интервала $(\frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6})$.

Пересечением этих двух интервалов является интервал $(\frac{\pi}{6}, \frac{3\pi}{4})$.

Найдем середину этого интервала: $t_{mid} = \frac{\frac{\pi}{6} + \frac{3\pi}{4}}{2} = \frac{\frac{2\pi}{12} + \frac{9\pi}{12}}{2} = \frac{\frac{11\pi}{12}}{2} = \frac{11\pi}{24}$.

Угол $t = \frac{11\pi}{24}$ находится в I четверти, так как $0 < \frac{11\pi}{24} < \frac{\pi}{2}$ (поскольку $\frac{11}{24} < \frac{1}{2}$).

Ответ: I четверть.

г) Дана система неравенств:

$\begin{cases} x < \frac{1}{2} \\ y < \frac{\sqrt{3}}{2} \end{cases}$

Подставляя $x = \cos(t)$ и $y = \sin(t)$, получаем:

$\begin{cases} \cos(t) < \frac{1}{2} \\ \sin(t) < \frac{\sqrt{3}}{2} \end{cases}$

Первое неравенство, $\cos(t) < \frac{1}{2}$, выполняется для углов $t$ из интервала $(\frac{\pi}{3}, \frac{5\pi}{3})$.

Второе неравенство, $\sin(t) < \frac{\sqrt{3}}{2}$, выполняется для углов $t$ из интервала $(\frac{2\pi}{3}, 2\pi + \frac{\pi}{3}) = (\frac{2\pi}{3}, \frac{7\pi}{3})$.

Пересечением этих двух интервалов является интервал $(\frac{2\pi}{3}, \frac{5\pi}{3})$.

Найдем середину этого интервала: $t_{mid} = \frac{\frac{2\pi}{3} + \frac{5\pi}{3}}{2} = \frac{\frac{7\pi}{3}}{2} = \frac{7\pi}{6}$.

Угол $t = \frac{7\pi}{6}$ находится в III четверти, так как $\pi < \frac{7\pi}{6} < \frac{3\pi}{2}$.

Ответ: III четверть.