Номер 12.23, страница 87, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

12.23. a) $y > 0$;

б) $y < \frac{1}{2}$;

в) $y > \frac{1}{2}$;

г) $y < 0$.

Для решения данных неравенств необходимо знать функцию $y(x)$, к которой они относятся. Данное задание (12.23) обычно относится к функции, рассматриваемой в соответствующем параграфе учебника. Предположим, что речь идет о функции $y = \sin x + \cos x$.

Для удобства решения преобразуем эту функцию, используя метод введения вспомогательного угла:

$y = \sin x + \cos x = \sqrt{1^2 + 1^2} \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\sin x + \frac{1}{\sqrt{2}}\cos x\right) = \sqrt{2}\left(\cos\frac{\pi}{4} \sin x + \sin\frac{\pi}{4} \cos x\right)$

Применяя формулу синуса суммы $\sin(\alpha + \beta) = \sin\alpha \cos\beta + \cos\alpha \sin\beta$, получаем:

$y = \sqrt{2}\sin\left(x + \frac{\pi}{4}\right)$

Теперь решим каждое неравенство, подставив преобразованное выражение для $y$.

а) $y > 0$

Неравенство принимает вид:

$\sqrt{2}\sin\left(x + \frac{\pi}{4}\right) > 0$

Разделив обе части на $\sqrt{2}$, получаем:

$\sin\left(x + \frac{\pi}{4}\right) > 0$

Функция синус положительна, когда ее аргумент находится в интервале $(2k\pi, \pi + 2k\pi)$, где $k$ — любое целое число ($k \in \mathbb{Z}$).

$2k\pi < x + \frac{\pi}{4} < \pi + 2k\pi$

Чтобы найти $x$, вычтем $\frac{\pi}{4}$ из всех частей двойного неравенства:

$2k\pi - \frac{\pi}{4} < x < \pi + 2k\pi - \frac{\pi}{4}$

$-\frac{\pi}{4} + 2k\pi < x < \frac{3\pi}{4} + 2k\pi, k \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x \in \left(-\frac{\pi}{4} + 2k\pi; \frac{3\pi}{4} + 2k\pi\right)$, где $k \in \mathbb{Z}$.

б) $y < \frac{1}{2}$

Неравенство принимает вид:

$\sqrt{2}\sin\left(x + \frac{\pi}{4}\right) < \frac{1}{2}$

$\sin\left(x + \frac{\pi}{4}\right) < \frac{1}{2\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{4}$

Пусть $t = x + \frac{\pi}{4}$. Решаем неравенство $\sin t < \frac{\sqrt{2}}{4}$.

Решения уравнения $\sin t = \frac{\sqrt{2}}{4}$ на одном обороте единичной окружности это $t_1 = \arcsin\left(\frac{\sqrt{2}}{4}\right)$ и $t_2 = \pi - \arcsin\left(\frac{\sqrt{2}}{4}\right)$.

Неравенство $\sin t < \frac{\sqrt{2}}{4}$ выполняется для $t$, лежащих в интервале $(\pi - \arcsin\left(\frac{\sqrt{2}}{4}\right) + 2k\pi, 2\pi + \arcsin\left(\frac{\sqrt{2}}{4}\right) + 2k\pi)$.

$\pi - \arcsin\left(\frac{\sqrt{2}}{4}\right) + 2k\pi < x + \frac{\pi}{4} < 2\pi + \arcsin\left(\frac{\sqrt{2}}{4}\right) + 2k\pi$

Вычитаем $\frac{\pi}{4}$:

$\frac{3\pi}{4} - \arcsin\left(\frac{\sqrt{2}}{4}\right) + 2k\pi < x < \frac{7\pi}{4} + \arcsin\left(\frac{\sqrt{2}}{4}\right) + 2k\pi, k \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x \in \left(\frac{3\pi}{4} - \arcsin\left(\frac{\sqrt{2}}{4}\right) + 2k\pi; \frac{7\pi}{4} + \arcsin\left(\frac{\sqrt{2}}{4}\right) + 2k\pi\right)$, где $k \in \mathbb{Z}$.

в) $y > \frac{1}{2}$

Неравенство принимает вид:

$\sqrt{2}\sin\left(x + \frac{\pi}{4}\right) > \frac{1}{2}$

$\sin\left(x + \frac{\pi}{4}\right) > \frac{\sqrt{2}}{4}$

Как и в предыдущем пункте, пусть $t = x + \frac{\pi}{4}$. Решаем $\sin t > \frac{\sqrt{2}}{4}$.

Это неравенство выполняется, когда значение $t$ находится между $t_1 = \arcsin\left(\frac{\sqrt{2}}{4}\right)$ и $t_2 = \pi - \arcsin\left(\frac{\sqrt{2}}{4}\right)$.

$\arcsin\left(\frac{\sqrt{2}}{4}\right) + 2k\pi < t < \pi - \arcsin\left(\frac{\sqrt{2}}{4}\right) + 2k\pi$

Возвращаемся к $x$:

$\arcsin\left(\frac{\sqrt{2}}{4}\right) + 2k\pi < x + \frac{\pi}{4} < \pi - \arcsin\left(\frac{\sqrt{2}}{4}\right) + 2k\pi$

Вычитаем $\frac{\pi}{4}$:

$-\frac{\pi}{4} + \arcsin\left(\frac{\sqrt{2}}{4}\right) + 2k\pi < x < \frac{3\pi}{4} - \arcsin\left(\frac{\sqrt{2}}{4}\right) + 2k\pi, k \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x \in \left(-\frac{\pi}{4} + \arcsin\left(\frac{\sqrt{2}}{4}\right) + 2k\pi; \frac{3\pi}{4} - \arcsin\left(\frac{\sqrt{2}}{4}\right) + 2k\pi\right)$, где $k \in \mathbb{Z}$.

г) $y < 0$

Неравенство принимает вид:

$\sqrt{2}\sin\left(x + \frac{\pi}{4}\right) < 0$

$\sin\left(x + \frac{\pi}{4}\right) < 0$

Функция синус отрицательна, когда ее аргумент находится в интервале $(\pi + 2k\pi, 2\pi + 2k\pi)$, где $k \in \mathbb{Z}$.

$\pi + 2k\pi < x + \frac{\pi}{4} < 2\pi + 2k\pi$

Вычитаем $\frac{\pi}{4}$ из всех частей неравенства:

$\pi + 2k\pi - \frac{\pi}{4} < x < 2\pi + 2k\pi - \frac{\pi}{4}$

$\frac{3\pi}{4} + 2k\pi < x < \frac{7\pi}{4} + 2k\pi, k \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x \in \left(\frac{3\pi}{4} + 2k\pi; \frac{7\pi}{4} + 2k\pi\right)$, где $k \in \mathbb{Z}$.