Номер 12.24, страница 87, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

12.24. a) $y > -\frac{\sqrt{3}}{2}$;

б) $y < \frac{\sqrt{2}}{2}$;

в) $y < -\frac{\sqrt{2}}{2}$;

г) $y > -\frac{1}{2}$.

Поскольку в условии задачи не указано, какую функцию представляет переменная $y$, будем решать данные неравенства, предположив, что $y = \cos(t)$. Решения будут представлять собой множества значений аргумента $t$.

а) Решим неравенство $y > -\frac{\sqrt{3}}{2}$.

При $y=\cos(t)$ получаем тригонометрическое неравенство $\cos(t) > -\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Сначала найдем корни уравнения $\cos(t) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$. Решения имеют вид $t = \pm\arccos(-\frac{\sqrt{3}}{2}) + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Так как $\arccos(-\frac{\sqrt{3}}{2}) = \pi - \arccos(\frac{\sqrt{3}}{2}) = \pi - \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6}$, то граничные углы равны $t = \pm\frac{5\pi}{6}$.

На единичной окружности косинус угла соответствует абсциссе точки. Неравенству $\cos(t) > -\frac{\sqrt{3}}{2}$ удовлетворяют точки, расположенные на дуге справа от вертикальной прямой $x=-\frac{\sqrt{3}}{2}$. Эта дуга заключена между углами $-\frac{5\pi}{6}$ и $\frac{5\pi}{6}$ (при движении против часовой стрелки).

Таким образом, с учетом периодичности функции косинуса, общее решение неравенства:

Ответ: $-\frac{5\pi}{6} + 2\pi k < t < \frac{5\pi}{6} + 2\pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.

б) Решим неравенство $y < \frac{\sqrt{2}}{2}$.

При $y=\cos(t)$ получаем $\cos(t) < \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Сначала найдем корни уравнения $\cos(t) = \frac{\sqrt{2}}{2}$. Решениями являются $t = \pm\arccos(\frac{\sqrt{2}}{2}) + 2\pi k = \pm\frac{\pi}{4} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Граничные углы равны $t = -\frac{\pi}{4}$ и $t = \frac{\pi}{4}$.

Неравенству $\cos(t) < \frac{\sqrt{2}}{2}$ соответствуют точки на единичной окружности, абсцисса которых меньше $\frac{\sqrt{2}}{2}$. Эти точки лежат на дуге, расположенной слева от прямой $x=\frac{\sqrt{2}}{2}$. Эта дуга начинается в точке $\frac{\pi}{4}$ и заканчивается в точке $2\pi - \frac{\pi}{4} = \frac{7\pi}{4}$.

Следовательно, общее решение неравенства с учетом периода $2\pi$:

Ответ: $\frac{\pi}{4} + 2\pi k < t < \frac{7\pi}{4} + 2\pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.

в) Решим неравенство $y < -\frac{\sqrt{2}}{2}$.

При $y=\cos(t)$ получаем $\cos(t) < -\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Находим корни уравнения $\cos(t) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$. Решения: $t = \pm\arccos(-\frac{\sqrt{2}}{2}) + 2\pi k = \pm(\pi - \frac{\pi}{4}) + 2\pi k = \pm\frac{3\pi}{4} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Граничные углы равны $t = \frac{3\pi}{4}$ и $t = -\frac{3\pi}{4}$ (или $t = \frac{5\pi}{4}$).

Неравенству $\cos(t) < -\frac{\sqrt{2}}{2}$ соответствуют точки на единичной окружности, абсцисса которых меньше $-\frac{\sqrt{2}}{2}$. Эти точки лежат на дуге слева от прямой $x=-\frac{\sqrt{2}}{2}$, заключенной между углами $\frac{3\pi}{4}$ и $\frac{5\pi}{4}$.

Записываем общее решение неравенства:

Ответ: $\frac{3\pi}{4} + 2\pi k < t < \frac{5\pi}{4} + 2\pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.

г) Решим неравенство $y > \frac{1}{2}$.

При $y=\cos(t)$ получаем $\cos(t) > \frac{1}{2}$.

Находим корни уравнения $\cos(t) = \frac{1}{2}$. Решениями являются $t = \pm\arccos(\frac{1}{2}) + 2\pi k = \pm\frac{\pi}{3} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Граничные углы равны $t = -\frac{\pi}{3}$ и $t = \frac{\pi}{3}$.

Неравенству $\cos(t) > \frac{1}{2}$ соответствуют точки на единичной окружности, абсцисса которых больше $\frac{1}{2}$. Эти точки лежат на дуге справа от прямой $x=\frac{1}{2}$, заключенной между углами $-\frac{\pi}{3}$ и $\frac{\pi}{3}$.

Записываем общее решение неравенства:

Ответ: $-\frac{\pi}{3} + 2\pi k < t < \frac{\pi}{3} + 2\pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.