Номер 12.28, страница 87, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

12.28. a) $2x^2 - x < 0;$

б) $(2x - 1)(y - 3) > 0;$

В) $y + 2y^2 > 0;$

Г) $(2y - \sqrt{2})(x + 2) \le 0.$

а) Решим неравенство $2x^2 - x < 0$.
Это квадратичное неравенство. Для его решения сначала найдем корни соответствующего уравнения $2x^2 - x = 0$.
Вынесем общий множитель $x$ за скобки:
$x(2x - 1) = 0$
Отсюда получаем два корня: $x_1 = 0$ и $2x - 1 = 0 \implies x_2 = 1/2$.
Графиком функции $f(x) = 2x^2 - x$ является парабола. Так как коэффициент при $x^2$ равен 2 (положительное число), ветви параболы направлены вверх.
Неравенство $2x^2 - x < 0$ выполняется на интервале, где парабола находится ниже оси Ox, то есть между корнями.
Поскольку неравенство строгое, концы интервала не включаются в решение.
Ответ: $x \in (0, 1/2)$.

б) Решим неравенство $(2x - 1)(y - 3) > 0$.
Произведение двух выражений положительно, если оба выражения имеют одинаковый знак. Рассмотрим два возможных случая.
1. Оба множителя положительны:
$\begin{cases} 2x - 1 > 0 \\ y - 3 > 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x > 1/2 \\ y > 3 \end{cases}$
Это область на координатной плоскости, расположенная правее прямой $x=1/2$ и выше прямой $y=3$.
2. Оба множителя отрицательны:
$\begin{cases} 2x - 1 < 0 \\ y - 3 < 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x < 1/2 \\ y < 3 \end{cases}$
Это область на координатной плоскости, расположенная левее прямой $x=1/2$ и ниже прямой $y=3$.
Решением неравенства является объединение этих двух областей.
Ответ: $(x > 1/2 \text{ и } y > 3) \text{ или } (x < 1/2 \text{ и } y < 3)$.

в) Решим неравенство $y + 2y^2 > 0$.
Перепишем неравенство в стандартном виде: $2y^2 + y > 0$.
Найдем корни уравнения $2y^2 + y = 0$.
Вынесем $y$ за скобки: $y(2y + 1) = 0$.
Корни уравнения: $y_1 = 0$ и $2y + 1 = 0 \implies y_2 = -1/2$.
Графиком функции $f(y) = 2y^2 + y$ является парабола с ветвями, направленными вверх (коэффициент при $y^2$ равен 2, что больше 0).
Неравенство $2y^2 + y > 0$ выполняется там, где парабола находится выше оси Oy, то есть за пределами интервала между корнями.
Таким образом, решение неравенства: $y < -1/2$ или $y > 0$.
Ответ: $y \in (-\infty, -1/2) \cup (0, \infty)$.

г) Решим неравенство $(2y - \sqrt{2})(x + 2) \le 0$.
Произведение двух выражений меньше или равно нулю, если выражения имеют разные знаки или хотя бы одно из них равно нулю. Рассмотрим два случая.
1. Первый множитель неположителен, а второй — неотрицателен:
$\begin{cases} 2y - \sqrt{2} \le 0 \\ x + 2 \ge 0 \end{cases} \implies \begin{cases} y \le \frac{\sqrt{2}}{2} \\ x \ge -2 \end{cases}$
Это область на координатной плоскости, ограниченная прямыми $x=-2$ (включая) и $y=\sqrt{2}/2$ (включая), расположенная правее и ниже их пересечения.
2. Первый множитель неотрицателен, а второй — неположителен:
$\begin{cases} 2y - \sqrt{2} \ge 0 \\ x + 2 \le 0 \end{cases} \implies \begin{cases} y \ge \frac{\sqrt{2}}{2} \\ x \le -2 \end{cases}$
Это область на координатной плоскости, ограниченная теми же прямыми, но расположенная левее и выше их пересечения.
Решением является объединение этих двух областей, включая их границы.
Ответ: $(x \ge -2 \text{ и } y \le \frac{\sqrt{2}}{2}) \text{ или } (x \le -2 \text{ и } y \ge \frac{\sqrt{2}}{2})$.