Номер 13.2, страница 88, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

13.2. а) $t = \frac{5\pi}{6}$;

б) $t = \frac{5\pi}{4}$;

в) $t = \frac{7\pi}{6}$;

г) $t = \frac{9\pi}{4}$.

а) $t = \frac{5\pi}{6}$

Чтобы определить, в какой четверти числовой окружности находится точка, соответствующая числу $t = \frac{5\pi}{6}$, сравним это значение с граничными значениями четвертей.
Границы четвертей в радианах:
I четверть: от $0$ до $\frac{\pi}{2}$
II четверть: от $\frac{\pi}{2}$ до $\pi$
III четверть: от $\pi$ до $\frac{3\pi}{2}$
IV четверть: от $\frac{3\pi}{2}$ до $2\pi$
Для сравнения приведем границы второй четверти к общему знаменателю 6: $\frac{\pi}{2} = \frac{3\pi}{6}$ и $\pi = \frac{6\pi}{6}$.
Так как выполняется неравенство $\frac{3\pi}{6} < \frac{5\pi}{6} < \frac{6\pi}{6}$, то есть $\frac{\pi}{2} < t < \pi$, точка находится во второй четверти.
Ответ: II четверть.

б) $t = \frac{5\pi}{4}$

Чтобы определить четверть для $t = \frac{5\pi}{4}$, сравним это значение с границами четвертей.
Приведем границы третьей четверти к общему знаменателю 4: $\pi = \frac{4\pi}{4}$ и $\frac{3\pi}{2} = \frac{6\pi}{4}$.
Так как выполняется неравенство $\frac{4\pi}{4} < \frac{5\pi}{4} < \frac{6\pi}{4}$, то есть $\pi < t < \frac{3\pi}{2}$, точка находится в третьей четверти.
Ответ: III четверть.

в) $t = \frac{7\pi}{6}$

Чтобы определить четверть для $t = \frac{7\pi}{6}$, сравним это значение с границами четвертей.
Приведем границы третьей четверти к общему знаменателю 6: $\pi = \frac{6\pi}{6}$ и $\frac{3\pi}{2} = \frac{9\pi}{6}$.
Так как выполняется неравенство $\frac{6\pi}{6} < \frac{7\pi}{6} < \frac{9\pi}{6}$, то есть $\pi < t < \frac{3\pi}{2}$, точка находится в третьей четверти.
Ответ: III четверть.

г) $t = \frac{9\pi}{4}$

Значение $t = \frac{9\pi}{4}$ больше $2\pi$, поскольку $2\pi = \frac{8\pi}{4}$. Это означает, что точка совершила полный оборот по окружности. Чтобы найти ее положение, вычтем полный оборот ($2\pi$), чтобы найти наименьший положительный угол, соответствующий той же точке.
$t' = \frac{9\pi}{4} - 2\pi = \frac{9\pi}{4} - \frac{8\pi}{4} = \frac{\pi}{4}$.
Теперь определим четверть для угла $t' = \frac{\pi}{4}$.
Сравним с границами первой четверти: $0 < t' < \frac{\pi}{2}$.
Поскольку $0 < \frac{\pi}{4} < \frac{\pi}{2}$, точка находится в первой четверти.
Ответ: I четверть.