Номер 13.9, страница 89, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

Найдите наименьшее и наибольшее значения выражения:

13.9. а) $2 \sin t;$

б) $3 + 4 \cos t;$

в) $-3 \cos t;$

г) $3 - 5 \sin t.$

а) $2 \sin t$

Основное свойство функции синус заключается в том, что её значения всегда находятся в пределах от -1 до 1. Это можно записать в виде двойного неравенства:
$-1 \le \sin t \le 1$
Чтобы найти наименьшее и наибольшее значения выражения $2 \sin t$, умножим все части этого неравенства на 2. Поскольку 2 является положительным числом, знаки неравенства сохраняются:
$2 \cdot (-1) \le 2 \sin t \le 2 \cdot 1$
$-2 \le 2 \sin t \le 2$
Таким образом, наименьшее значение выражения равно -2 (достигается, когда $\sin t = -1$), а наибольшее значение равно 2 (достигается, когда $\sin t = 1$).

Ответ: наименьшее значение: -2, наибольшее значение: 2.

б) $3 + 4 \cos t$

Значения функции косинус также находятся в пределах от -1 до 1:
$-1 \le \cos t \le 1$
Сначала умножим все части неравенства на 4:
$4 \cdot (-1) \le 4 \cos t \le 4 \cdot 1$
$-4 \le 4 \cos t \le 4$
Теперь прибавим 3 ко всем частям полученного неравенства:
$3 + (-4) \le 3 + 4 \cos t \le 3 + 4$
$-1 \le 3 + 4 \cos t \le 7$
Следовательно, наименьшее значение выражения равно -1, а наибольшее — 7.

Ответ: наименьшее значение: -1, наибольшее значение: 7.

в) $-3 \cos t$

И снова используем свойство функции косинус:
$-1 \le \cos t \le 1$
Умножим все части неравенства на -3. При умножении на отрицательное число знаки неравенства меняются на противоположные:
$(-3) \cdot (-1) \ge -3 \cos t \ge (-3) \cdot 1$
$3 \ge -3 \cos t \ge -3$
Для удобства перепишем неравенство в стандартном виде (от меньшего к большему):
$-3 \le -3 \cos t \le 3$
Таким образом, наименьшее значение выражения равно -3, а наибольшее — 3.

Ответ: наименьшее значение: -3, наибольшее значение: 3.

г) $3 - 5 \sin t$

Начнем с области значений функции синус:
$-1 \le \sin t \le 1$
Сначала рассмотрим выражение $-5 \sin t$. Умножим неравенство на -5, не забывая поменять знаки неравенства на противоположные:
$(-5) \cdot (-1) \ge -5 \sin t \ge (-5) \cdot 1$
$5 \ge -5 \sin t \ge -5$
Теперь прибавим 3 ко всем частям этого неравенства:
$3 + 5 \ge 3 - 5 \sin t \ge 3 + (-5)$
$8 \ge 3 - 5 \sin t \ge -2$
Запишем в стандартном порядке:
$-2 \le 3 - 5 \sin t \le 8$
Следовательно, наименьшее значение выражения равно -2, а наибольшее — 8.

Ответ: наименьшее значение: -2, наибольшее значение: 8.