Страница 89, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

13.8. a) $\cos 1 + \cos(1 + \pi) + \sin\left(-\frac{\pi}{3}\right) + \cos\left(-\frac{\pi}{6}\right)$;

б) $\sin 2 + \sin(2 + \pi) + \cos^2\left(-\frac{\pi}{12}\right) + \sin^2 \frac{\pi}{12}$.

а) $cos 1 + cos(1 + \pi) + sin(\frac{\pi}{3}) + cos(-\frac{\pi}{6})$

Для упрощения данного выражения воспользуемся формулами приведения и свойствами четности тригонометрических функций.

1. Применим формулу приведения $cos(\alpha + \pi) = -cos(\alpha)$. Для нашего случая, где $\alpha = 1$:
$cos(1 + \pi) = -cos(1)$.

2. Воспользуемся свойством четности функции косинус: $cos(-x) = cos(x)$. Для нашего случая, где $x = \frac{\pi}{6}$:
$cos(-\frac{\pi}{6}) = cos(\frac{\pi}{6})$.

3. Подставим полученные выражения и известные табличные значения в исходное выражение:
$cos 1 + (-cos 1) + sin(\frac{\pi}{3}) + cos(\frac{\pi}{6})$

Мы знаем, что $sin(\frac{\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ и $cos(\frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
Подставляем эти значения:
$cos 1 - cos 1 + \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}$

Слагаемые $cos 1$ и $-cos 1$ взаимно уничтожаются. Складываем оставшиеся члены:
$0 + \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} = 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}$.

Ответ: $\sqrt{3}$

б) $sin 2 + sin(2 + \pi) + cos^{2}(-\frac{\pi}{12}) + sin^{2}\frac{\pi}{12}$

Для упрощения этого выражения воспользуемся формулами приведения, свойством четности косинуса и основным тригонометрическим тождеством.

1. Применим формулу приведения $sin(\alpha + \pi) = -sin(\alpha)$. Для нашего случая, где $\alpha = 2$:
$sin(2 + \pi) = -sin(2)$.

2. Воспользуемся свойством четности функции косинус: $cos(-x) = cos(x)$. Следовательно:
$cos^{2}(-\frac{\pi}{12}) = (cos(-\frac{\pi}{12}))^2 = (cos(\frac{\pi}{12}))^2 = cos^{2}(\frac{\pi}{12})$.

3. Подставим упрощенные части в исходное выражение:
$sin 2 + (-sin 2) + cos^{2}(\frac{\pi}{12}) + sin^{2}(\frac{\pi}{12})$

Слагаемые $sin 2$ и $-sin 2$ взаимно уничтожаются:
$0 + cos^{2}(\frac{\pi}{12}) + sin^{2}(\frac{\pi}{12})$

4. Теперь применим основное тригонометрическое тождество $sin^2(x) + cos^2(x) = 1$. В нашем случае $x = \frac{\pi}{12}$:
$cos^{2}(\frac{\pi}{12}) + sin^{2}(\frac{\pi}{12}) = 1$.

Таким образом, значение всего выражения равно 1.

Ответ: 1

Найдите наименьшее и наибольшее значения выражения:

13.9. а) $2 \sin t;$

б) $3 + 4 \cos t;$

в) $-3 \cos t;$

г) $3 - 5 \sin t.$

а) $2 \sin t$

Основное свойство функции синус заключается в том, что её значения всегда находятся в пределах от -1 до 1. Это можно записать в виде двойного неравенства:
$-1 \le \sin t \le 1$
Чтобы найти наименьшее и наибольшее значения выражения $2 \sin t$, умножим все части этого неравенства на 2. Поскольку 2 является положительным числом, знаки неравенства сохраняются:
$2 \cdot (-1) \le 2 \sin t \le 2 \cdot 1$
$-2 \le 2 \sin t \le 2$
Таким образом, наименьшее значение выражения равно -2 (достигается, когда $\sin t = -1$), а наибольшее значение равно 2 (достигается, когда $\sin t = 1$).

Ответ: наименьшее значение: -2, наибольшее значение: 2.

б) $3 + 4 \cos t$

Значения функции косинус также находятся в пределах от -1 до 1:
$-1 \le \cos t \le 1$
Сначала умножим все части неравенства на 4:
$4 \cdot (-1) \le 4 \cos t \le 4 \cdot 1$
$-4 \le 4 \cos t \le 4$
Теперь прибавим 3 ко всем частям полученного неравенства:
$3 + (-4) \le 3 + 4 \cos t \le 3 + 4$
$-1 \le 3 + 4 \cos t \le 7$
Следовательно, наименьшее значение выражения равно -1, а наибольшее — 7.

Ответ: наименьшее значение: -1, наибольшее значение: 7.

в) $-3 \cos t$

И снова используем свойство функции косинус:
$-1 \le \cos t \le 1$
Умножим все части неравенства на -3. При умножении на отрицательное число знаки неравенства меняются на противоположные:
$(-3) \cdot (-1) \ge -3 \cos t \ge (-3) \cdot 1$
$3 \ge -3 \cos t \ge -3$
Для удобства перепишем неравенство в стандартном виде (от меньшего к большему):
$-3 \le -3 \cos t \le 3$
Таким образом, наименьшее значение выражения равно -3, а наибольшее — 3.

Ответ: наименьшее значение: -3, наибольшее значение: 3.

г) $3 - 5 \sin t$

Начнем с области значений функции синус:
$-1 \le \sin t \le 1$
Сначала рассмотрим выражение $-5 \sin t$. Умножим неравенство на -5, не забывая поменять знаки неравенства на противоположные:
$(-5) \cdot (-1) \ge -5 \sin t \ge (-5) \cdot 1$
$5 \ge -5 \sin t \ge -5$
Теперь прибавим 3 ко всем частям этого неравенства:
$3 + 5 \ge 3 - 5 \sin t \ge 3 + (-5)$
$8 \ge 3 - 5 \sin t \ge -2$
Запишем в стандартном порядке:
$-2 \le 3 - 5 \sin t \le 8$
Следовательно, наименьшее значение выражения равно -2, а наибольшее — 8.

Ответ: наименьшее значение: -2, наибольшее значение: 8.

13.10. a) $\frac{15}{2|\sin t| + 3}$;

б) $\sqrt{7\cos^2 t + 9}$;

B) $\frac{1}{3\sin^2 t + 4\cos^2 t}$;

Г) $\frac{5\sin^2 t + 5\cos^2 t}{3|\cos t| + 2}$.

а)

Требуется найти множество значений выражения $\frac{15}{2|\sin t| + 3}$.
Сначала оценим значение выражения в знаменателе. Известно, что область значений функции синус: $-1 \le \sin t \le 1$.
Следовательно, для модуля синуса справедливо двойное неравенство: $0 \le |\sin t| \le 1$.
Умножим все части неравенства на 2:
$2 \cdot 0 \le 2|\sin t| \le 2 \cdot 1$
$0 \le 2|\sin t| \le 2$
Прибавим ко всем частям неравенства 3:
$0 + 3 \le 2|\sin t| + 3 \le 2 + 3$
$3 \le 2|\sin t| + 3 \le 5$
Знаменатель $2|\sin t| + 3$ принимает все значения из отрезка $[3, 5]$.
Исходное выражение представляет собой дробь с постоянным числителем. Такая функция является убывающей относительно своего знаменателя. Это означает, что наименьшему значению знаменателя соответствует наибольшее значение дроби, и наоборот.
Наибольшее значение выражения: $\frac{15}{3} = 5$.
Наименьшее значение выражения: $\frac{15}{5} = 3$.
Таким образом, множество значений исходного выражения — это отрезок $[3, 5]$.
Ответ: $[3, 5]$.

б)

Требуется найти множество значений выражения $\sqrt{7\cos^2 t + 9}$.
Сначала оценим значение подкоренного выражения $7\cos^2 t + 9$.
Известно, что область значений функции косинус: $-1 \le \cos t \le 1$.
Следовательно, для квадрата косинуса справедливо неравенство: $0 \le \cos^2 t \le 1$.
Умножим все части неравенства на 7:
$7 \cdot 0 \le 7\cos^2 t \le 7 \cdot 1$
$0 \le 7\cos^2 t \le 7$
Прибавим ко всем частям неравенства 9:
$0 + 9 \le 7\cos^2 t + 9 \le 7 + 9$
$9 \le 7\cos^2 t + 9 \le 16$
Подкоренное выражение принимает все значения из отрезка $[9, 16]$.
Функция $y = \sqrt{x}$ является возрастающей для неотрицательных $x$. Поэтому для нахождения множества значений исходного выражения нужно извлечь квадратный корень из границ отрезка $[9, 16]$.
Наименьшее значение выражения: $\sqrt{9} = 3$.
Наибольшее значение выражения: $\sqrt{16} = 4$.
Таким образом, множество значений исходного выражения — это отрезок $[3, 4]$.
Ответ: $[3, 4]$.

в)

Требуется найти множество значений выражения $\frac{1}{3\sin^2 t + 4\cos^2 t}$.
Сначала упростим выражение в знаменателе, используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2 t + \cos^2 t = 1$.
$3\sin^2 t + 4\cos^2 t = 3\sin^2 t + (3+1)\cos^2 t = 3\sin^2 t + 3\cos^2 t + \cos^2 t = 3(\sin^2 t + \cos^2 t) + \cos^2 t = 3 \cdot 1 + \cos^2 t = 3 + \cos^2 t$.
Теперь оценим значение полученного выражения в знаменателе.
Известно, что $0 \le \cos^2 t \le 1$.
Прибавим 3 ко всем частям неравенства:
$0 + 3 \le 3 + \cos^2 t \le 1 + 3$
$3 \le 3 + \cos^2 t \le 4$
Знаменатель принимает все значения из отрезка $[3, 4]$.
Так как числитель дроби равен 1, наименьшее значение дроби будет при наибольшем значении знаменателя, а наибольшее — при наименьшем.
Наименьшее значение выражения: $\frac{1}{4}$.
Наибольшее значение выражения: $\frac{1}{3}$.
Таким образом, множество значений исходного выражения — это отрезок $[\frac{1}{4}, \frac{1}{3}]$.
Ответ: $[\frac{1}{4}, \frac{1}{3}]$.

г)

Требуется найти множество значений выражения $\frac{5\sin^2 t + 5\cos^2 t}{3|\cos t| + 2}$.
Сначала упростим выражение в числителе, используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2 t + \cos^2 t = 1$.
$5\sin^2 t + 5\cos^2 t = 5(\sin^2 t + \cos^2 t) = 5 \cdot 1 = 5$.
Исходное выражение принимает вид $\frac{5}{3|\cos t| + 2}$.
Теперь оценим значение выражения в знаменателе.
Известно, что $-1 \le \cos t \le 1$, следовательно, для модуля косинуса справедливо неравенство $0 \le |\cos t| \le 1$.
Умножим все части неравенства на 3:
$3 \cdot 0 \le 3|\cos t| \le 3 \cdot 1$
$0 \le 3|\cos t| \le 3$
Прибавим ко всем частям неравенства 2:
$0 + 2 \le 3|\cos t| + 2 \le 3 + 2$
$2 \le 3|\cos t| + 2 \le 5$
Знаменатель принимает все значения из отрезка $[2, 5]$.
Так как числитель дроби — постоянное положительное число, наименьшее значение дроби будет при наибольшем значении знаменателя, а наибольшее — при наименьшем.
Наименьшее значение выражения: $\frac{5}{5} = 1$.
Наибольшее значение выражения: $\frac{5}{2}$.
Таким образом, множество значений исходного выражения — это отрезок $[1, \frac{5}{2}]$.
Ответ: $[1, \frac{5}{2}]$.

Определите знак числа:

13.11. a) $\sin \frac{4\pi}{7}$;

б) $\cos \left(-\frac{5\pi}{7}\right)$;

в) $\sin \frac{9\pi}{8}$;

г) $\sin \left(-\frac{3\pi}{8}\right)$.

Для определения знака тригонометрической функции необходимо определить, в какой координатной четверти находится угол. Знаки синуса и косинуса по четвертям:

• I четверть ($0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$): $\sin \alpha > 0$, $\cos \alpha > 0$
• II четверть ($\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi$): $\sin \alpha > 0$, $\cos \alpha < 0$
• III четверть ($\pi < \alpha < \frac{3\pi}{2}$): $\sin \alpha < 0$, $\cos \alpha < 0$
• IV четверть ($\frac{3\pi}{2} < \alpha < 2\pi$): $\sin \alpha < 0$, $\cos \alpha > 0$

а) Чтобы определить знак числа $\sin\frac{4\pi}{7}$, найдем, в какой четверти лежит угол $\frac{4\pi}{7}$. Сравним это значение с границами четвертей: $\frac{\pi}{2}$ и $\pi$. Представим $\frac{\pi}{2}$ и $\pi$ со знаменателем 7: $\frac{\pi}{2} = \frac{3.5\pi}{7}$ и $\pi = \frac{7\pi}{7}$. Получаем неравенство: $\frac{3.5\pi}{7} < \frac{4\pi}{7} < \frac{7\pi}{7}$, то есть $\frac{\pi}{2} < \frac{4\pi}{7} < \pi$. Следовательно, угол $\frac{4\pi}{7}$ находится во второй координатной четверти. Синус во второй четверти положителен.
Ответ: плюс.

б) Чтобы определить знак числа $\cos(-\frac{5\pi}{7})$, воспользуемся свойством четности косинуса: $\cos(-x) = \cos(x)$. Следовательно, $\cos(-\frac{5\pi}{7}) = \cos(\frac{5\pi}{7})$. Теперь определим, в какой четверти лежит угол $\frac{5\pi}{7}$. Сравним это значение с $\frac{\pi}{2}$ и $\pi$. $\frac{\pi}{2} = \frac{3.5\pi}{7}$ и $\pi = \frac{7\pi}{7}$. Получаем неравенство: $\frac{3.5\pi}{7} < \frac{5\pi}{7} < \frac{7\pi}{7}$, то есть $\frac{\pi}{2} < \frac{5\pi}{7} < \pi$. Следовательно, угол $\frac{5\pi}{7}$ находится во второй координатной четверти. Косинус во второй четверти отрицателен.
Ответ: минус.

в) Чтобы определить знак числа $\sin\frac{9\pi}{8}$, найдем, в какой четверти лежит угол $\frac{9\pi}{8}$. Сравним это значение с $\pi$ и $\frac{3\pi}{2}$. Представим $\pi$ и $\frac{3\pi}{2}$ со знаменателем 8: $\pi = \frac{8\pi}{8}$ и $\frac{3\pi}{2} = \frac{12\pi}{8}$. Получаем неравенство: $\frac{8\pi}{8} < \frac{9\pi}{8} < \frac{12\pi}{8}$, то есть $\pi < \frac{9\pi}{8} < \frac{3\pi}{2}$. Следовательно, угол $\frac{9\pi}{8}$ находится в третьей координатной четверти. Синус в третьей четверти отрицателен.
Ответ: минус.

г) Чтобы определить знак числа $\sin(-\frac{3\pi}{8})$, воспользуемся свойством нечетности синуса: $\sin(-x) = -\sin(x)$. Следовательно, $\sin(-\frac{3\pi}{8}) = -\sin(\frac{3\pi}{8})$. Определим знак $\sin(\frac{3\pi}{8})$. Для этого найдем, в какой четверти лежит угол $\frac{3\pi}{8}$. Сравним это значение с $0$ и $\frac{\pi}{2}$. Представим $\frac{\pi}{2}$ со знаменателем 8: $\frac{\pi}{2} = \frac{4\pi}{8}$. Получаем неравенство: $0 < \frac{3\pi}{8} < \frac{4\pi}{8}$, то есть $0 < \frac{3\pi}{8} < \frac{\pi}{2}$. Следовательно, угол $\frac{3\pi}{8}$ находится в первой координатной четверти, где синус положителен. Так как $\sin(\frac{3\pi}{8}) > 0$, то $\sin(-\frac{3\pi}{8}) = -\sin(\frac{3\pi}{8})$ будет отрицательным числом.
Ответ: минус.

13.12. а) $sin(-2);$

б) $cos 3;$

в) $sin 5;$

г) $cos (-6).$

Для определения знака тригонометрических функций необходимо определить, в какой координатной четверти находится угол, заданный в радианах. Мы будем использовать приближенное значение $\pi \approx 3.14$.

Координатные четверти для угла $\alpha$ в радианах определяются следующими неравенствами:

• I четверть: $0 < \alpha < \pi/2$ ( $0 < \alpha < 1.57$ )
• II четверть: $\pi/2 < \alpha < \pi$ ( $1.57 < \alpha < 3.14$ )
• III четверть: $\pi < \alpha < 3\pi/2$ ( $3.14 < \alpha < 4.71$ )
• IV четверть: $3\pi/2 < \alpha < 2\pi$ ( $4.71 < \alpha < 6.28$ )

Знаки синуса и косинуса по четвертям:

• sin($\alpha$): > 0 в I и II четвертях, < 0 в III и IV четвертях.
• cos($\alpha$): > 0 в I и IV четвертях, < 0 во II и III четвертях.

а) $\sin(-2)$

Функция синус является нечетной, поэтому $\sin(-x) = -\sin(x)$. Следовательно, $\sin(-2) = -\sin(2)$.

Определим знак $\sin(2)$. Сравним угол 2 радиана с границами четвертей:$\pi/2 \approx 1.57$ и $\pi \approx 3.14$.Поскольку $1.57 < 2 < 3.14$, то есть $\pi/2 < 2 < \pi$, угол 2 радиана находится во II координатной четверти.Во II четверти синус положителен, значит, $\sin(2) > 0$.Тогда $\sin(-2) = -\sin(2)$ будет отрицательным. $\sin(-2) < 0$.

Ответ: минус.

б) $\cos(3)$

Определим, в какой четверти находится угол 3 радиана.Сравним с границами четвертей: $\pi/2 \approx 1.57$ и $\pi \approx 3.14$.Поскольку $1.57 < 3 < 3.14$, то есть $\pi/2 < 3 < \pi$, угол 3 радиана находится во II координатной четверти.Во II четверти косинус отрицателен, значит, $\cos(3) < 0$.

Ответ: минус.

в) $\sin(5)$

Определим, в какой четверти находится угол 5 радиан.Сравним с границами четвертей: $3\pi/2 \approx 3 \cdot 3.14 / 2 = 4.71$ и $2\pi \approx 2 \cdot 3.14 = 6.28$.Поскольку $4.71 < 5 < 6.28$, то есть $3\pi/2 < 5 < 2\pi$, угол 5 радиан находится в IV координатной четверти.В IV четверти синус отрицателен, значит, $\sin(5) < 0$.

Ответ: минус.

г) $\cos(-6)$

Функция косинус является четной, поэтому $\cos(-x) = \cos(x)$. Следовательно, $\cos(-6) = \cos(6)$.

Определим знак $\cos(6)$. Сравним угол 6 радиан с границами четвертей:$3\pi/2 \approx 4.71$ и $2\pi \approx 6.28$.Поскольку $4.71 < 6 < 6.28$, то есть $3\pi/2 < 6 < 2\pi$, угол 6 радиан находится в IV координатной четверти.В IV четверти косинус положителен, значит, $\cos(6) > 0$.Следовательно, $\cos(-6) > 0$.

Ответ: плюс.

13.13. a) $ \sin 10 $;

б) $ \cos (-12) $;

в) $ \sin (-15) $;

г) $ \cos 8 $.

а)

Чтобы определить знак выражения $\sin 10$, найдем, в какой четверти единичной окружности находится угол, равный 10 радианам. Для этого сравним число 10 с числами, кратными $\pi \approx 3.14159$.
Вычислим границы четвертей, ближайшие к 10:
$3\pi \approx 3 \cdot 3.14159 = 9.42477$
$\frac{7\pi}{2} = 3.5\pi \approx 3.5 \cdot 3.14159 = 10.9955$
Поскольку $9.42477 < 10 < 10.9955$, мы можем заключить, что $3\pi < 10 < \frac{7\pi}{2}$.
Данный интервал соответствует третьей координатной четверти (так как $3\pi = 2\pi + \pi$ и $\frac{7\pi}{2} = 2\pi + \frac{3\pi}{2}$). В третьей четверти синус принимает отрицательные значения.
Следовательно, $\sin 10 < 0$.

Ответ: $\sin 10 < 0$.

б)

Для определения знака $\cos(-12)$, воспользуемся свойством четности косинуса: $\cos(-x) = \cos(x)$. Таким образом, $\cos(-12) = \cos(12)$.
Теперь определим, в какой четверти находится угол в 12 радиан. Сравним 12 с числами, кратными $\pi$.
Вычислим границы четвертей, ближайшие к 12:
$\frac{7\pi}{2} = 3.5\pi \approx 10.9955$
$4\pi \approx 4 \cdot 3.14159 = 12.56636$
Поскольку $10.9955 < 12 < 12.56636$, мы можем заключить, что $\frac{7\pi}{2} < 12 < 4\pi$.
Данный интервал соответствует четвертой координатной четверти (так как $\frac{7\pi}{2} = 2\pi + \frac{3\pi}{2}$ и $4\pi = 2\pi + 2\pi$). В четвертой четверти косинус принимает положительные значения.
Следовательно, $\cos(-12) > 0$.

Ответ: $\cos(-12) > 0$.

в)

Для определения знака $\sin(-15)$, воспользуемся свойством нечетности синуса: $\sin(-x) = -\sin(x)$. Таким образом, $\sin(-15) = -\sin(15)$.
Знак $\sin(-15)$ противоположен знаку $\sin(15)$. Определим знак $\sin(15)$, найдя четверть для угла в 15 радиан.
Вычислим границы четвертей, ближайшие к 15:
$\frac{9\pi}{2} = 4.5\pi \approx 4.5 \cdot 3.14159 = 14.13715$
$5\pi \approx 5 \cdot 3.14159 = 15.70795$
Поскольку $14.13715 < 15 < 15.70795$, мы можем заключить, что $\frac{9\pi}{2} < 15 < 5\pi$.
Данный интервал соответствует второй координатной четверти (поскольку $\frac{9\pi}{2} = 4\pi + \frac{\pi}{2}$ и $5\pi = 4\pi + \pi$). Во второй четверти синус принимает положительные значения, то есть $\sin(15) > 0$.
Отсюда следует, что $\sin(-15) = -\sin(15) < 0$.

Ответ: $\sin(-15) < 0$.

г)

Чтобы определить знак $\cos 8$, найдем, в какой четверти находится угол в 8 радиан. Сравним 8 с числами, кратными $\pi$.
Вычислим границы четвертей, ближайшие к 8:
$\frac{5\pi}{2} = 2.5\pi \approx 2.5 \cdot 3.14159 = 7.85395$
$3\pi \approx 3 \cdot 3.14159 = 9.42477$
Поскольку $7.85395 < 8 < 9.42477$, мы можем заключить, что $\frac{5\pi}{2} < 8 < 3\pi$.
Данный интервал соответствует второй координатной четверти (поскольку $\frac{5\pi}{2} = 2\pi + \frac{\pi}{2}$ и $3\pi = 2\pi + \pi$). Во второй четверти косинус принимает отрицательные значения.
Следовательно, $\cos 8 < 0$.

Ответ: $\cos 8 < 0$.

13.14. a) $\sin 1 \cdot \cos 2;$

б) $\sin \frac{\pi}{7} \cdot \cos \left(-\frac{7\pi}{5}\right);$

В) $\cos 2 \cdot \sin (-3);$

Г) $\cos \left(-\frac{14\pi}{9}\right) \cdot \sin \left(-\frac{4\pi}{9}\right).$

а) $\sin 1 \cdot \cos 2$

Чтобы определить знак данного произведения, необходимо определить знак каждого сомножителя. Аргументы тригонометрических функций даны в радианах. Для определения четверти, в которой находится угол, воспользуемся приближенным значением $\pi \approx 3,14$.

1. Определим знак $\sin 1$.
Угол в 1 радиан находится между $0$ и $\frac{\pi}{2} \approx \frac{3,14}{2} = 1,57$. Так как $0 < 1 < \frac{\pi}{2}$, угол 1 радиан принадлежит I четверти. Синус в I четверти положителен, следовательно, $\sin 1 > 0$.

2. Определим знак $\cos 2$.
Угол в 2 радиана находится между $\frac{\pi}{2} \approx 1,57$ и $\pi \approx 3,14$. Так как $\frac{\pi}{2} < 2 < \pi$, угол 2 радиана принадлежит II четверти. Косинус во II четверти отрицателен, следовательно, $\cos 2 < 0$.

3. Произведение положительного числа на отрицательное есть число отрицательное.
$\sin 1 \cdot \cos 2 > 0 \cdot (<0) < 0$.
Таким образом, данное выражение отрицательно.
Ответ: выражение отрицательно.

б) $\sin \frac{\pi}{7} \cdot \cos \left(-\frac{7\pi}{5}\right)$

1. Определим знак $\sin \frac{\pi}{7}$.
Так как $0 < \frac{\pi}{7} < \frac{\pi}{2}$, угол $\frac{\pi}{7}$ принадлежит I четверти. Синус в I четверти положителен, следовательно, $\sin \frac{\pi}{7} > 0$.

2. Определим знак $\cos \left(-\frac{7\pi}{5}\right)$.
Воспользуемся свойством четности функции косинус: $\cos(-x) = \cos(x)$.
$\cos \left(-\frac{7\pi}{5}\right) = \cos \left(\frac{7\pi}{5}\right)$.
Теперь определим, в какой четверти находится угол $\frac{7\pi}{5}$.
$\pi = \frac{5\pi}{5}$ и $\frac{3\pi}{2} = \frac{7,5\pi}{5}$.
Так как $\pi < \frac{7\pi}{5} < \frac{3\pi}{2}$, угол $\frac{7\pi}{5}$ принадлежит III четверти. Косинус в III четверти отрицателен, следовательно, $\cos \left(\frac{7\pi}{5}\right) < 0$.

3. Произведение положительного числа на отрицательное есть число отрицательное.
$\sin \frac{\pi}{7} \cdot \cos \left(-\frac{7\pi}{5}\right) > 0 \cdot (<0) < 0$.
Таким образом, данное выражение отрицательно.
Ответ: выражение отрицательно.

в) $\cos 2 \cdot \sin(-3)$

1. Определим знак $\cos 2$.
Как было показано в пункте а), угол 2 радиана принадлежит II четверти, где косинус отрицателен. Следовательно, $\cos 2 < 0$.

2. Определим знак $\sin(-3)$.
Воспользуемся свойством нечетности функции синус: $\sin(-x) = -\sin(x)$.
$\sin(-3) = -\sin(3)$.
Угол в 3 радиана находится между $\frac{\pi}{2} \approx 1,57$ и $\pi \approx 3,14$. Так как $\frac{\pi}{2} < 3 < \pi$, угол 3 радиана принадлежит II четверти. Синус во II четверти положителен, то есть $\sin 3 > 0$.
Следовательно, $\sin(-3) = -\sin(3) < 0$.

3. Произведение двух отрицательных чисел есть число положительное.
$\cos 2 \cdot \sin(-3) < 0 \cdot (<0) > 0$.
Таким образом, данное выражение положительно.
Ответ: выражение положительно.

г) $\cos \left(-\frac{14\pi}{9}\right) \cdot \sin \left(-\frac{4\pi}{9}\right)$

1. Определим знак $\cos \left(-\frac{14\pi}{9}\right)$.
Так как косинус — четная функция, $\cos \left(-\frac{14\pi}{9}\right) = \cos \left(\frac{14\pi}{9}\right)$.
Определим, в какой четверти находится угол $\frac{14\pi}{9}$.
$\frac{3\pi}{2} = \frac{13,5\pi}{9}$ и $2\pi = \frac{18\pi}{9}$.
Так как $\frac{3\pi}{2} < \frac{14\pi}{9} < 2\pi$, угол $\frac{14\pi}{9}$ принадлежит IV четверти. Косинус в IV четверти положителен, следовательно, $\cos \left(-\frac{14\pi}{9}\right) > 0$.

2. Определим знак $\sin \left(-\frac{4\pi}{9}\right)$.
Так как синус — нечетная функция, $\sin \left(-\frac{4\pi}{9}\right) = -\sin \left(\frac{4\pi}{9}\right)$.
Определим, в какой четверти находится угол $\frac{4\pi}{9}$.
$\frac{\pi}{2} = \frac{4,5\pi}{9}$.
Так как $0 < \frac{4\pi}{9} < \frac{\pi}{2}$, угол $\frac{4\pi}{9}$ принадлежит I четверти. Синус в I четверти положителен, то есть $\sin \left(\frac{4\pi}{9}\right) > 0$.
Следовательно, $\sin \left(-\frac{4\pi}{9}\right) = -\sin \left(\frac{4\pi}{9}\right) < 0$.

3. Произведение положительного числа на отрицательное есть число отрицательное.
$\cos \left(-\frac{14\pi}{9}\right) \cdot \sin \left(-\frac{4\pi}{9}\right) > 0 \cdot (<0) < 0$.
Таким образом, данное выражение отрицательно.
Ответ: выражение отрицательно.

Решите уравнение:

13.15. a) $cos t = \frac{\sqrt{2}}{2}$;

б) $sin t = -\frac{1}{2}$;

в) $cos t = -\frac{1}{2}$;

г) $sin t = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

а) Решим уравнение $cos t = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Это простейшее тригонометрическое уравнение. Общее решение для уравнения вида $cos t = a$ находится по формуле $t = \pm arccos(a) + 2\pi k$, где $k$ — любое целое число ($k \in \mathbb{Z}$).

В нашем случае $a = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Значение арккосинуса от $\frac{\sqrt{2}}{2}$ является табличным: $arccos(\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{\pi}{4}$.

Подставим это значение в общую формулу решения:

$t = \pm \frac{\pi}{4} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $t = \pm \frac{\pi}{4} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

б) Решим уравнение $sin t = -\frac{1}{2}$.

Общее решение для уравнения вида $sin t = a$ находится по формуле $t = (-1)^k arcsin(a) + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

В нашем случае $a = -\frac{1}{2}$.

Значение арксинуса от $-\frac{1}{2}$ является табличным: $arcsin(-\frac{1}{2}) = -\frac{\pi}{6}$.

Подставим это значение в общую формулу:

$t = (-1)^k (-\frac{\pi}{6}) + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Это выражение можно преобразовать, вынеся минус из скобок: $t = (-1)^{k+1} \frac{\pi}{6} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $t = (-1)^{k+1} \frac{\pi}{6} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

в) Решим уравнение $cos t = -\frac{1}{2}$.

Используем ту же общую формулу, что и в пункте а): $t = \pm arccos(a) + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Здесь $a = -\frac{1}{2}$.

Для нахождения арккосинуса отрицательного числа используем свойство $arccos(-x) = \pi - arccos(x)$:

$arccos(-\frac{1}{2}) = \pi - arccos(\frac{1}{2}) = \pi - \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3}$.

Подставим найденное значение в общую формулу:

$t = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $t = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

г) Решим уравнение $sin t = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Используем ту же общую формулу, что и в пункте б): $t = (-1)^k arcsin(a) + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Здесь $a = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Табличное значение арксинуса: $arcsin(\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{\pi}{4}$.

Подставим это значение в общую формулу:

$t = (-1)^k \frac{\pi}{4} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $t = (-1)^k \frac{\pi}{4} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

13.16. a) $sin t = -\frac{\sqrt{3}}{2}$;

б) $cos t = \sqrt{3}$;

в) $cos t = -\frac{\sqrt{3}}{2}$;

г) $sin t = -\frac{\pi}{3}$.

а)

Дано тригонометрическое уравнение $ \sin t = -\frac{\sqrt{3}}{2} $.

Это простейшее тригонометрическое уравнение вида $ \sin t = a $. Решение такого уравнения существует, если $ |a| \le 1 $.

В данном случае $ a = -\frac{\sqrt{3}}{2} $. Так как $ \sqrt{3} \approx 1.732 $, то $ a \approx -0.866 $. Условие $ |-0.866| \le 1 $ выполняется, следовательно, уравнение имеет решения.

Общая формула для решения уравнения $ \sin t = a $ имеет вид: $ t = (-1)^n \arcsin(a) + \pi n $, где $ n \in \mathbb{Z} $ (где $ \mathbb{Z} $ — множество целых чисел).

Найдем значение $ \arcsin(-\frac{\sqrt{3}}{2}) $. Используем свойство нечетности функции арксинус: $ \arcsin(-x) = -\arcsin(x) $.

Так как $ \sin(\frac{\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2} $, то $ \arcsin(\frac{\sqrt{3}}{2}) = \frac{\pi}{3} $.

Следовательно, $ \arcsin(-\frac{\sqrt{3}}{2}) = -\arcsin(\frac{\sqrt{3}}{2}) = -\frac{\pi}{3} $.

Подставляем найденное значение в общую формулу:

$ t = (-1)^n (-\frac{\pi}{3}) + \pi n, n \in \mathbb{Z} $

Эту формулу можно записать как $ t = (-1)^{n+1} \frac{\pi}{3} + \pi n, n \in \mathbb{Z} $.

Ответ: $ t = (-1)^{n+1} \frac{\pi}{3} + \pi n, n \in \mathbb{Z} $.

б)

Дано уравнение $ \cos t = \sqrt{3} $.

Это простейшее тригонометрическое уравнение вида $ \cos t = a $. Уравнение имеет решения только в том случае, если $ |a| \le 1 $, так как область значений функции косинус есть отрезок $ [-1, 1] $.

В данном случае $ a = \sqrt{3} $. Значение $ \sqrt{3} \approx 1.732 $, что больше 1.

Поскольку $ \sqrt{3} > 1 $, условие $ |a| \le 1 $ не выполняется. Следовательно, данное уравнение не имеет решений.

Ответ: решений нет.

в)

Дано тригонометрическое уравнение $ \cos t = -\frac{\sqrt{3}}{2} $.

Это простейшее тригонометрическое уравнение вида $ \cos t = a $. Решение существует, если $ |a| \le 1 $.

В данном случае $ a = -\frac{\sqrt{3}}{2} $. Мы уже знаем, что $ |-\frac{\sqrt{3}}{2}| \le 1 $, поэтому решения существуют.

Общая формула для решения уравнения $ \cos t = a $ имеет вид: $ t = \pm \arccos(a) + 2\pi n $, где $ n \in \mathbb{Z} $.

Найдем значение $ \arccos(-\frac{\sqrt{3}}{2}) $. Используем свойство арккосинуса: $ \arccos(-x) = \pi - \arccos(x) $.

Так как $ \cos(\frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{2} $, то $ \arccos(\frac{\sqrt{3}}{2}) = \frac{\pi}{6} $.

Следовательно, $ \arccos(-\frac{\sqrt{3}}{2}) = \pi - \arccos(\frac{\sqrt{3}}{2}) = \pi - \frac{\pi}{6} = \frac{6\pi - \pi}{6} = \frac{5\pi}{6} $.

Подставляем найденное значение в общую формулу:

$ t = \pm \frac{5\pi}{6} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z} $.

Ответ: $ t = \pm \frac{5\pi}{6} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z} $.

г)

Дано уравнение $ \sin t = -\frac{\pi}{3} $.

Это простейшее тригонометрическое уравнение вида $ \sin t = a $. Уравнение имеет решения только в том случае, если $ |a| \le 1 $, так как область значений функции синус есть отрезок $ [-1, 1] $.

В данном случае $ a = -\frac{\pi}{3} $. Используем приближенное значение $ \pi \approx 3.14159 $.

Тогда $ a \approx -\frac{3.14159}{3} \approx -1.047 $.

Поскольку $ -\frac{\pi}{3} < -1 $, условие $ |a| \le 1 $ не выполняется. Следовательно, данное уравнение не имеет решений.

Ответ: решений нет.

13.17. а) $10 \sin t = \sqrt{75}$;

б) $\sqrt{8} \sin t + 2 = 0$;

В) $8 \cos t - \sqrt{32} = 0$;

Г) $8 \cos t = -\sqrt{48}$.

а) $10 \sin t = \sqrt{75}$

Сначала разделим обе части уравнения на 10, чтобы выразить $\sin t$:

$\sin t = \frac{\sqrt{75}}{10}$

Упростим корень из 75, вынеся множитель из-под знака корня: $\sqrt{75} = \sqrt{25 \cdot 3} = 5\sqrt{3}$.

Подставим упрощенное значение в уравнение и сократим дробь:

$\sin t = \frac{5\sqrt{3}}{10} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Это простейшее тригонометрическое уравнение. Решение для уравнения $\sin t = a$ имеет общий вид $t = (-1)^n \arcsin(a) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Поскольку $\arcsin(\frac{\sqrt{3}}{2}) = \frac{\pi}{3}$, получаем общее решение:

$t = (-1)^n \frac{\pi}{3} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $t = (-1)^n \frac{\pi}{3} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

б) $\sqrt{8} \sin t + 2 = 0$

Сначала выразим $\sin t$ из уравнения. Для этого перенесем 2 в правую часть и разделим на $\sqrt{8}$:

$\sqrt{8} \sin t = -2$

$\sin t = -\frac{2}{\sqrt{8}}$

Упростим знаменатель: $\sqrt{8} = \sqrt{4 \cdot 2} = 2\sqrt{2}$.

Подставим и сократим дробь:

$\sin t = -\frac{2}{2\sqrt{2}} = -\frac{1}{\sqrt{2}} = -\frac{\sqrt{2}}{2}$

Общее решение уравнения $\sin t = a$ имеет вид $t = (-1)^n \arcsin(a) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Так как $\arcsin(-\frac{\sqrt{2}}{2}) = -\frac{\pi}{4}$, получаем:

$t = (-1)^n (-\frac{\pi}{4}) + \pi n = (-1)^{n+1} \frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $t = (-1)^{n+1} \frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

в) $8 \cos t - \sqrt{32} = 0$

Выразим $\cos t$ из уравнения. Перенесем $\sqrt{32}$ в правую часть и разделим на 8:

$8 \cos t = \sqrt{32}$

$\cos t = \frac{\sqrt{32}}{8}$

Упростим корень из 32: $\sqrt{32} = \sqrt{16 \cdot 2} = 4\sqrt{2}$.

Подставим и сократим дробь:

$\cos t = \frac{4\sqrt{2}}{8} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Это простейшее тригонометрическое уравнение. Решение для $\cos t = a$ имеет общий вид $t = \pm \arccos(a) + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Поскольку $\arccos(\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{\pi}{4}$, получаем общее решение:

$t = \pm \frac{\pi}{4} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $t = \pm \frac{\pi}{4} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

г) $8 \cos t = -\sqrt{48}$

Выразим $\cos t$ из уравнения, разделив обе части на 8:

$\cos t = -\frac{\sqrt{48}}{8}$

Упростим корень из 48: $\sqrt{48} = \sqrt{16 \cdot 3} = 4\sqrt{3}$.

Подставим и сократим дробь:

$\cos t = -\frac{4\sqrt{3}}{8} = -\frac{\sqrt{3}}{2}$

Общее решение уравнения $\cos t = a$ имеет вид $t = \pm \arccos(a) + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Для нахождения $\arccos(-\frac{\sqrt{3}}{2})$ используем формулу $\arccos(-x) = \pi - \arccos(x)$.

$\arccos(-\frac{\sqrt{3}}{2}) = \pi - \arccos(\frac{\sqrt{3}}{2}) = \pi - \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6}$.

Следовательно, получаем общее решение:

$t = \pm \frac{5\pi}{6} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $t = \pm \frac{5\pi}{6} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

13.18. a) $\sin^2 \frac{\pi}{8} + \cos^2 \frac{\pi}{8} - \sqrt{2} \sin t = 0;$

б) $\sqrt{\frac{4}{3}} \cos t = \cos^2 1 + \sin^2 1.$

а) $ \sin^2\frac{\pi}{8} + \cos^2\frac{\pi}{8} - \sqrt{2} \sin t = 0 $

Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством $ \sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1 $. Для любого угла $ \alpha $, сумма квадратов его синуса и косинуса равна единице. В данном уравнении $ \alpha = \frac{\pi}{8} $, следовательно:

$ \sin^2\frac{\pi}{8} + \cos^2\frac{\pi}{8} = 1 $

Подставим это значение в исходное уравнение:

$ 1 - \sqrt{2} \sin t = 0 $

Теперь решим это уравнение относительно $ \sin t $:

$ \sqrt{2} \sin t = 1 $

$ \sin t = \frac{1}{\sqrt{2}} $

Умножим числитель и знаменатель на $ \sqrt{2} $, чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе:

$ \sin t = \frac{\sqrt{2}}{2} $

Это стандартное тригонометрическое уравнение. Общее решение для $ \sin t = a $ имеет вид $ t = (-1)^n \arcsin(a) + \pi n $, где $ n \in \mathbb{Z} $.

В нашем случае $ a = \frac{\sqrt{2}}{2} $ и $ \arcsin(\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{\pi}{4} $.

Значит, общее решение уравнения:

$ t = (-1)^n \frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z} $.

Ответ: $ t = (-1)^n \frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z} $.

б) $ \sqrt{\frac{4}{3}}\cos t = \cos^2 1 + \sin^2 1 $

Рассмотрим правую часть уравнения: $ \cos^2 1 + \sin^2 1 $. Это также основное тригонометрическое тождество $ \cos^2\alpha + \sin^2\alpha = 1 $, где $ \alpha = 1 $ (угол в радианах).

$ \cos^2 1 + \sin^2 1 = 1 $

Упростим коэффициент при $ \cos t $ в левой части:

$ \sqrt{\frac{4}{3}} = \frac{\sqrt{4}}{\sqrt{3}} = \frac{2}{\sqrt{3}} $

Подставим упрощенные выражения в исходное уравнение:

$ \frac{2}{\sqrt{3}}\cos t = 1 $

Выразим $ \cos t $:

$ \cos t = 1 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2} $

Это стандартное тригонометрическое уравнение. Общее решение для $ \cos t = a $ имеет вид $ t = \pm \arccos(a) + 2\pi n $, где $ n \in \mathbb{Z} $.

В нашем случае $ a = \frac{\sqrt{3}}{2} $ и $ \arccos(\frac{\sqrt{3}}{2}) = \frac{\pi}{6} $.

Значит, общее решение уравнения:

$ t = \pm \frac{\pi}{6} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z} $.

Ответ: $ t = \pm \frac{\pi}{6} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z} $.