Страница 90, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

13.19. Решите уравнение:

а) $|\sin t| = 1$;

б) $\sqrt{1 - \sin^2 t} = \frac{1}{2}$;

в) $|\cos t| = 1$;

г) $\sqrt{1 - \cos^2 t} = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Данное уравнение равносильно совокупности двух уравнений: $\sin t = 1$ или $\sin t = -1$.

Решением уравнения $\sin t = 1$ является серия корней $t = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Решением уравнения $\sin t = -1$ является серия корней $t = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

На единичной окружности этим решениям соответствуют точки $(0, 1)$ и $(0, -1)$. Углы, соответствующие этим точкам, отстоят друг от друга на $\pi$. Поэтому две серии решений можно объединить в одну.

Ответ: $t = \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Используем основное тригонометрическое тождество $\sin^2 t + \cos^2 t = 1$, из которого следует, что $1 - \sin^2 t = \cos^2 t$.

Подставим это выражение в исходное уравнение:

$\sqrt{\cos^2 t} = \frac{1}{2}$

По определению квадратного корня $\sqrt{a^2} = |a|$, поэтому уравнение принимает вид:

$|\cos t| = \frac{1}{2}$

Это уравнение равносильно совокупности двух уравнений: $\cos t = \frac{1}{2}$ или $\cos t = -\frac{1}{2}$.

Решением уравнения $\cos t = \frac{1}{2}$ является $t = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Решением уравнения $\cos t = -\frac{1}{2}$ является $t = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Эти четыре серии корней на единичной окружности ($\frac{\pi}{3}, \frac{2\pi}{3}, \frac{4\pi}{3}, \frac{5\pi}{3}$ и т.д.) можно объединить в одну общую формулу.

Ответ: $t = \pi k \pm \frac{\pi}{3}, k \in \mathbb{Z}$.

Данное уравнение равносильно совокупности двух уравнений: $\cos t = 1$ или $\cos t = -1$.

Решением уравнения $\cos t = 1$ является серия корней $t = 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Решением уравнения $\cos t = -1$ является серия корней $t = \pi + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

На единичной окружности этим решениям соответствуют точки $(1, 0)$ и $(-1, 0)$. Углы, соответствующие этим точкам, отстоят друг от друга на $\pi$. Поэтому две серии решений можно объединить.

Ответ: $t = \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Используем основное тригонометрическое тождество $\sin^2 t + \cos^2 t = 1$, из которого следует, что $1 - \cos^2 t = \sin^2 t$.

Подставим это выражение в исходное уравнение:

$\sqrt{\sin^2 t} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

По определению квадратного корня $\sqrt{a^2} = |a|$, поэтому уравнение принимает вид:

$|\sin t| = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Это уравнение равносильно совокупности двух уравнений: $\sin t = \frac{\sqrt{2}}{2}$ или $\sin t = -\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Решениями являются углы, для которых синус равен $\frac{\sqrt{2}}{2}$ (например, $\frac{\pi}{4}$ и $\frac{3\pi}{4}$) или $-\frac{\sqrt{2}}{2}$ (например, $\frac{5\pi}{4}$ и $\frac{7\pi}{4}$).

Все эти четыре точки на единичной окружности расположены симметрично и отстоят друг от друга на угол $\frac{\pi}{2}$. Поэтому все решения можно описать одной формулой.

Ответ: $t = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z}$.

13.20. Имеет ли смысл выражение:

a) $\sqrt{\sin 10,2\pi}$;

б) $\sqrt{\cos 1,3\pi}$;

в) $\sqrt{\sin (-3,4\pi)}$;

г) $\sqrt{\cos (-6,9\pi)}$?

Для того чтобы выражение $\sqrt{A}$ имело смысл в области действительных чисел, необходимо, чтобы подкоренное выражение было неотрицательным, то есть $A \ge 0$.

а) Выражение $\sqrt{\sin 10,2\pi}$ имеет смысл, если $\sin(10,2\pi) \ge 0$.
Функция синус является периодической с периодом $2\pi$. Упростим аргумент:
$10,2\pi = 10\pi + 0,2\pi = 5 \cdot 2\pi + 0,2\pi$.
Следовательно, $\sin(10,2\pi) = \sin(0,2\pi)$.
Угол $0,2\pi$ находится в первой координатной четверти, так как $0 < 0,2\pi < \frac{\pi}{2}$ (поскольку $0 < 0,2 < 0,5$).
Синус в первой четверти положителен, поэтому $\sin(0,2\pi) > 0$.
Так как подкоренное выражение положительно, выражение имеет смысл.
Ответ: имеет смысл.

б) Выражение $\sqrt{\cos 1,3\pi}$ имеет смысл, если $\cos(1,3\pi) \ge 0$.
Определим, в какой координатной четверти находится угол $1,3\pi$.
Сравним с границами четвертей: $\frac{\pi}{2} = 0,5\pi$, $\pi = 1\pi$, $\frac{3\pi}{2} = 1,5\pi$.
Поскольку $\pi < 1,3\pi < \frac{3\pi}{2}$, угол $1,3\pi$ находится в третьей четверти.
Косинус в третьей четверти отрицателен, поэтому $\cos(1,3\pi) < 0$.
Так как подкоренное выражение отрицательно, выражение не имеет смысла.
Ответ: не имеет смысла.

в) Выражение $\sqrt{\sin (-3,4\pi)}$ имеет смысл, если $\sin(-3,4\pi) \ge 0$.
Функция синус является нечетной, то есть $\sin(-x) = -\sin(x)$.
$\sin(-3,4\pi) = -\sin(3,4\pi)$.
Используем периодичность синуса: $3,4\pi = 2\pi + 1,4\pi$.
Значит, $\sin(3,4\pi) = \sin(1,4\pi)$.
Угол $1,4\pi$ находится в третьей четверти, так как $\pi < 1,4\pi < \frac{3\pi}{2}$.
Синус в третьей четверти отрицателен: $\sin(1,4\pi) < 0$.
Тогда $\sin(-3,4\pi) = -\sin(1,4\pi) > 0$.
Так как подкоренное выражение положительно, выражение имеет смысл.
Ответ: имеет смысл.

г) Выражение $\sqrt{\cos (-6,9\pi)}$ имеет смысл, если $\cos(-6,9\pi) \ge 0$.
Функция косинус является четной, то есть $\cos(-x) = \cos(x)$.
$\cos(-6,9\pi) = \cos(6,9\pi)$.
Используем периодичность косинуса: $6,9\pi = 6\pi + 0,9\pi = 3 \cdot 2\pi + 0,9\pi$.
Следовательно, $\cos(6,9\pi) = \cos(0,9\pi)$.
Угол $0,9\pi$ находится во второй четверти, так как $\frac{\pi}{2} < 0,9\pi < \pi$.
Косинус во второй четверти отрицателен, поэтому $\cos(0,9\pi) < 0$.
Так как подкоренное выражение отрицательно, выражение не имеет смысла.
Ответ: не имеет смысла.

Вычислите.

13.21. a) $tg \frac{5\pi}{4};$

б) $ctg \frac{4\pi}{3};$

В) $tg \frac{5\pi}{6};$

Г) $ctg \frac{7\pi}{4}.$

а)

Чтобы вычислить значение $\text{tg}\frac{5\pi}{4}$, воспользуемся свойством периодичности тангенса. Период тангенса равен $\pi$.

Представим угол $\frac{5\pi}{4}$ в виде суммы $\pi$ и другого угла:

$\frac{5\pi}{4} = \frac{4\pi + \pi}{4} = \pi + \frac{\pi}{4}$

Используем формулу приведения $\text{tg}(\pi + \alpha) = \text{tg}(\alpha)$:

$\text{tg}\frac{5\pi}{4} = \text{tg}(\pi + \frac{\pi}{4}) = \text{tg}(\frac{\pi}{4})$

Значение тангенса угла $\frac{\pi}{4}$ является табличным:

$\text{tg}(\frac{\pi}{4}) = 1$

Ответ: 1

б)

Для вычисления значения $\text{ctg}\frac{4\pi}{3}$ воспользуемся свойством периодичности котангенса. Период котангенса, как и тангенса, равен $\pi$.

Представим угол $\frac{4\pi}{3}$ в виде суммы:

$\frac{4\pi}{3} = \frac{3\pi + \pi}{3} = \pi + \frac{\pi}{3}$

Используем формулу приведения $\text{ctg}(\pi + \alpha) = \text{ctg}(\alpha)$:

$\text{ctg}\frac{4\pi}{3} = \text{ctg}(\pi + \frac{\pi}{3}) = \text{ctg}(\frac{\pi}{3})$

Значение котангенса угла $\frac{\pi}{3}$ является табличным:

$\text{ctg}(\frac{\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{3}$

Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{3}$

в)

Для вычисления значения $\text{tg}\frac{5\pi}{6}$ применим формулы приведения.

Представим угол $\frac{5\pi}{6}$ в виде разности:

$\frac{5\pi}{6} = \frac{6\pi - \pi}{6} = \pi - \frac{\pi}{6}$

Используем формулу приведения $\text{tg}(\pi - \alpha) = -\text{tg}(\alpha)$:

$\text{tg}\frac{5\pi}{6} = \text{tg}(\pi - \frac{\pi}{6}) = -\text{tg}(\frac{\pi}{6})$

Табличное значение тангенса угла $\frac{\pi}{6}$:

$\text{tg}(\frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{3}$

Следовательно:

$\text{tg}\frac{5\pi}{6} = -\frac{\sqrt{3}}{3}$

Ответ: $-\frac{\sqrt{3}}{3}$

г)

Для вычисления значения $\text{ctg}\frac{7\pi}{4}$ применим формулы приведения.

Представим угол $\frac{7\pi}{4}$ в виде разности:

$\frac{7\pi}{4} = \frac{8\pi - \pi}{4} = 2\pi - \frac{\pi}{4}$

Используем формулу приведения $\text{ctg}(2\pi - \alpha) = -\text{ctg}(\alpha)$:

$\text{ctg}\frac{7\pi}{4} = \text{ctg}(2\pi - \frac{\pi}{4}) = -\text{ctg}(\frac{\pi}{4})$

Табличное значение котангенса угла $\frac{\pi}{4}$:

$\text{ctg}(\frac{\pi}{4}) = 1$

Следовательно:

$\text{ctg}\frac{7\pi}{4} = -1$

Ответ: -1

13.22. a) $tg \left(-\frac{5\pi}{4}\right);$

б) $ctg \left(-\frac{\pi}{3}\right);$

в) $tg \left(-\frac{\pi}{6}\right);$

г) $ctg \left(-\frac{2\pi}{3}\right).$

а) Для вычисления значения $tg(-\frac{5\pi}{4})$ воспользуемся свойством нечетности функции тангенса: $tg(-x) = -tg(x)$.
$tg(-\frac{5\pi}{4}) = -tg(\frac{5\pi}{4})$.
Далее, представим аргумент $\frac{5\pi}{4}$ как $\pi + \frac{\pi}{4}$.
$-tg(\frac{5\pi}{4}) = -tg(\pi + \frac{\pi}{4})$.
Используя формулу приведения $tg(\pi + \alpha) = tg(\alpha)$, получаем:
$-tg(\pi + \frac{\pi}{4}) = -tg(\frac{\pi}{4})$.
Так как $tg(\frac{\pi}{4}) = 1$, то итоговое значение равно $-1$.
Ответ: $-1$.

б) Для вычисления значения $ctg(-\frac{\pi}{3})$ воспользуемся свойством нечетности функции котангенса: $ctg(-x) = -ctg(x)$.
$ctg(-\frac{\pi}{3}) = -ctg(\frac{\pi}{3})$.
Табличное значение $ctg(\frac{\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{3}$.
Следовательно, $ctg(-\frac{\pi}{3}) = -\frac{\sqrt{3}}{3}$.
Ответ: $-\frac{\sqrt{3}}{3}$.

в) Для вычисления значения $tg(-\frac{\pi}{6})$ воспользуемся свойством нечетности функции тангенса: $tg(-x) = -tg(x)$.
$tg(-\frac{\pi}{6}) = -tg(\frac{\pi}{6})$.
Табличное значение $tg(\frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{3}$.
Следовательно, $tg(-\frac{\pi}{6}) = -\frac{\sqrt{3}}{3}$.
Ответ: $-\frac{\sqrt{3}}{3}$.

г) Для вычисления значения $ctg(-\frac{2\pi}{3})$ воспользуемся свойством нечетности функции котангенса: $ctg(-x) = -ctg(x)$.
$ctg(-\frac{2\pi}{3}) = -ctg(\frac{2\pi}{3})$.
Далее, представим аргумент $\frac{2\pi}{3}$ как $\pi - \frac{\pi}{3}$.
$-ctg(\frac{2\pi}{3}) = -ctg(\pi - \frac{\pi}{3})$.
Используя формулу приведения $ctg(\pi - \alpha) = -ctg(\alpha)$, получаем:
$-ctg(\pi - \frac{\pi}{3}) = -(-ctg(\frac{\pi}{3})) = ctg(\frac{\pi}{3})$.
Табличное значение $ctg(\frac{\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{3}$.
Следовательно, $ctg(-\frac{2\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{3}$.
Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{3}$.

13.23. a) $ \text{tg} \frac{\pi}{4} \cdot \sin \frac{\pi}{3} \cdot \text{ctg} \frac{\pi}{6}$;

б) $ 2 \sin \pi + 3 \cos \pi + \text{ctg} \frac{\pi}{2}$;

в) $ 2 \sin \frac{\pi}{3} \cdot \cos \frac{\pi}{6} - \frac{1}{2} \text{tg} \frac{\pi}{3}$;

г) $ 2 \text{tg} 0 + 8 \cos \frac{3\pi}{2} - 6 \sin \frac{\pi}{3}$.

а) Чтобы вычислить значение выражения $ \text{tg}\frac{\pi}{4} \cdot \sin\frac{\pi}{3} \cdot \text{ctg}\frac{\pi}{6} $, найдем значения каждой тригонометрической функции:
$ \text{tg}\frac{\pi}{4} = 1 $
$ \sin\frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2} $
$ \text{ctg}\frac{\pi}{6} = \sqrt{3} $
Теперь подставим эти значения в исходное выражение и выполним умножение:
$ 1 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \sqrt{3} = \frac{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}}{2} = \frac{3}{2} = 1.5 $
Ответ: $1.5$

б) Для вычисления значения выражения $ 2\sin\pi + 3\cos\pi + \text{ctg}\frac{\pi}{2} $, найдем значения табличных тригонометрических функций:
$ \sin\pi = 0 $
$ \cos\pi = -1 $
$ \text{ctg}\frac{\pi}{2} = 0 $
Подставим значения в выражение:
$ 2 \cdot 0 + 3 \cdot (-1) + 0 = 0 - 3 + 0 = -3 $
Ответ: $-3$

в) Чтобы решить $ 2\sin\frac{\pi}{3} \cdot \cos\frac{\pi}{6} - \frac{1}{2}\text{tg}\frac{\pi}{3} $, найдем значения тригонометрических функций:
$ \sin\frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2} $
$ \cos\frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2} $
$ \text{tg}\frac{\pi}{3} = \sqrt{3} $
Подставим найденные значения в выражение:
$ 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{1}{2} \cdot \sqrt{3} = 2 \cdot \frac{3}{4} - \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{3}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{3-\sqrt{3}}{2} $
Ответ: $\frac{3-\sqrt{3}}{2}$

г) Для вычисления значения выражения $ 2\text{tg}0 + 8\cos\frac{3\pi}{2} - 6\sin\frac{\pi}{3} $ определим значения функций:
$ \text{tg}0 = 0 $
$ \cos\frac{3\pi}{2} = 0 $
$ \sin\frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2} $
Подставим значения и вычислим:
$ 2 \cdot 0 + 8 \cdot 0 - 6 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 0 + 0 - 3\sqrt{3} = -3\sqrt{3} $
Ответ: $-3\sqrt{3}$

13.24. a) $ \text{tg } \frac{\pi}{5} \cdot \text{ctg } \frac{\pi}{5}; $

Б) $ 3 \text{tg } 2,3 \cdot \text{ctg } 2,3; $

В) $ \text{tg } \frac{\pi}{7} \cdot \text{ctg } \frac{\pi}{7}; $

Г) $ 7 \text{tg } \frac{\pi}{12} \cdot \text{ctg } \frac{\pi}{12}. $

а)

Для решения данного примера воспользуемся основным тригонометрическим тождеством, которое связывает тангенс и котангенс одного и того же угла: $tg \alpha \cdot ctg \alpha = 1$. Это тождество справедливо для любого угла $\alpha$, для которого $tg \alpha$ и $ctg \alpha$ определены.

В данном случае угол $\alpha = \frac{\pi}{5}$.

Применяя тождество, получаем:

$tg\frac{\pi}{5} \cdot ctg\frac{\pi}{5} = 1$

Ответ: 1

б)

В этом примере мы также используем основное тригонометрическое тождество $tg \alpha \cdot ctg \alpha = 1$.

Сначала найдем произведение $tg 2,3 \cdot ctg 2,3$. Здесь угол $\alpha = 2,3$ (в радианах).

$tg 2,3 \cdot ctg 2,3 = 1$

Теперь умножим полученный результат на коэффициент 3, который стоит перед выражением:

$3 \cdot (tg 2,3 \cdot ctg 2,3) = 3 \cdot 1 = 3$

Ответ: 3

в)

Данный пример аналогичен пункту а). Используем то же самое основное тригонометрическое тождество $tg \alpha \cdot ctg \alpha = 1$.

В этом выражении угол $\alpha = \frac{\pi}{7}$.

Следовательно, произведение тангенса и котангенса этого угла равно единице:

$tg\frac{\pi}{7} \cdot ctg\frac{\pi}{7} = 1$

Ответ: 1

г)

Этот пример решается аналогично пункту б). Мы снова применяем тождество $tg \alpha \cdot ctg \alpha = 1$.

Рассмотрим произведение $tg\frac{\pi}{12} \cdot ctg\frac{\pi}{12}$. Здесь угол $\alpha = \frac{\pi}{12}$.

$tg\frac{\pi}{12} \cdot ctg\frac{\pi}{12} = 1$

Теперь умножим это значение на числовой коэффициент 7:

$7 \cdot (tg\frac{\pi}{12} \cdot ctg\frac{\pi}{12}) = 7 \cdot 1 = 7$

Ответ: 7

13.25. a) $\operatorname{tg} 2,5 \cdot \operatorname{ctg} 2,5 + \cos^2 \pi - \sin^2 \frac{\pi}{8} - \cos^2 \frac{\pi}{8};$

б) $\sin^2 \frac{3\pi}{7} - 2 \operatorname{tg} 1 \cdot \operatorname{ctg} 1 + \cos^2 \left(\frac{3\pi}{7}\right) + \sin^2 \frac{5\pi}{2}.$

а) Рассмотрим выражение $ \text{tg}\,2,5 \cdot \text{ctg}\,2,5 + \cos^2\pi - \sin^2\frac{\pi}{8} - \cos^2\frac{\pi}{8} $.
Для его упрощения воспользуемся основными тригонометрическими тождествами и значениями тригонометрических функций.
1. Произведение тангенса и котангенса одного и того же угла равно единице: $ \text{tg}\,\alpha \cdot \text{ctg}\,\alpha = 1 $. Следовательно, $ \text{tg}\,2,5 \cdot \text{ctg}\,2,5 = 1 $.
2. Значение косинуса угла $ \pi $ равно -1: $ \cos\pi = -1 $. Тогда его квадрат равен $ \cos^2\pi = (-1)^2 = 1 $.
3. Сгруппируем последние два слагаемых и вынесем минус за скобку: $ -\sin^2\frac{\pi}{8} - \cos^2\frac{\pi}{8} = -(\sin^2\frac{\pi}{8} + \cos^2\frac{\pi}{8}) $. Согласно основному тригонометрическому тождеству, $ \sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1 $. Значит, $ -(\sin^2\frac{\pi}{8} + \cos^2\frac{\pi}{8}) = -1 $.
4. Теперь подставим все полученные значения в исходное выражение: $ 1 + 1 - 1 = 1 $.
Ответ: $1$

б) Рассмотрим выражение $ \sin^2\frac{3\pi}{7} - 2\,\text{tg}\,1 \cdot \text{ctg}\,1 + \cos^2(-\frac{3\pi}{7}) + \sin^2\frac{5\pi}{2} $.
Упростим выражение по частям.
1. Сгруппируем первое и третье слагаемые: $ \sin^2\frac{3\pi}{7} + \cos^2(-\frac{3\pi}{7}) $. Функция косинус является четной, то есть $ \cos(-x) = \cos(x) $. Поэтому $ \cos^2(-\frac{3\pi}{7}) = \cos^2\frac{3\pi}{7} $. Тогда сумма примет вид $ \sin^2\frac{3\pi}{7} + \cos^2\frac{3\pi}{7} $. По основному тригонометрическому тождеству $ \sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1 $, значение этого выражения равно 1.
2. Упростим член $ -2\,\text{tg}\,1 \cdot \text{ctg}\,1 $. Так как $ \text{tg}\,\alpha \cdot \text{ctg}\,\alpha = 1 $, то $ -2\,\text{tg}\,1 \cdot \text{ctg}\,1 = -2 \cdot 1 = -2 $.
3. Найдем значение $ \sin^2\frac{5\pi}{2} $. Угол $ \frac{5\pi}{2} $ можно представить как $ \frac{4\pi}{2} + \frac{\pi}{2} = 2\pi + \frac{\pi}{2} $. Поскольку функция синус периодична с периодом $ 2\pi $, то $ \sin\frac{5\pi}{2} = \sin(2\pi + \frac{\pi}{2}) = \sin\frac{\pi}{2} = 1 $. Следовательно, $ \sin^2\frac{5\pi}{2} = 1^2 = 1 $.
4. Подставим все вычисленные значения в исходное выражение: $ 1 - 2 + 1 = 0 $.
Ответ: $0$

13.26. Докажите равенство:

a) $\frac{\sin \frac{\pi}{4} - \cos \pi - \text{tg } \frac{\pi}{4}}{2 \sin \frac{\pi}{6} - \sin \frac{3\pi}{2}} = \frac{\sqrt{2}}{4};$

б) $\frac{\text{ctg } \frac{5\pi}{4} + \sin \frac{3\pi}{2} \text{ tg } \left(-\frac{5\pi}{4}\right)}{2 \cos \frac{11\pi}{6} + 2 \sin^2 \frac{11\pi}{4}} = \sqrt{3} - 1.$

а)

Для доказательства равенства преобразуем его левую часть. Сначала вычислим значения тригонометрических функций, входящих в выражение, используя их табличные значения:
$ \sin \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} $
$ \cos \pi = -1 $
$ \tg \frac{\pi}{4} = 1 $
$ \sin \frac{\pi}{6} = \frac{1}{2} $
$ \sin \frac{3\pi}{2} = -1 $

Теперь подставим эти значения в левую часть исходного равенства:
$ \frac{\sin \frac{\pi}{4} - \cos \pi - \tg \frac{\pi}{4}}{2 \sin \frac{\pi}{6} - \sin \frac{3\pi}{2}} = \frac{\frac{\sqrt{2}}{2} - (-1) - 1}{2 \cdot \frac{1}{2} - (-1)} = \frac{\frac{\sqrt{2}}{2} + 1 - 1}{1 + 1} = \frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{2} = \frac{\sqrt{2}}{4} $.

В результате вычислений мы получили, что левая часть равна $ \frac{\sqrt{2}}{4} $, что совпадает с правой частью равенства. Таким образом, равенство доказано.

Ответ: Равенство доказано.

б)

Для доказательства второго равенства также преобразуем его левую часть. Вычислим значения тригонометрических функций, используя формулы приведения и свойства чётности/нечётности:
$ \ctg \frac{5\pi}{4} = \ctg(\pi + \frac{\pi}{4}) = \ctg \frac{\pi}{4} = 1 $
$ \sin \frac{3\pi}{2} = -1 $
$ \tg(-\frac{5\pi}{4}) = -\tg(\frac{5\pi}{4}) = -\tg(\pi + \frac{\pi}{4}) = -\tg \frac{\pi}{4} = -1 $
$ \cos \frac{11\pi}{6} = \cos(2\pi - \frac{\pi}{6}) = \cos \frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2} $
$ \sin^2 \frac{11\pi}{4} = \sin^2(2\pi + \frac{3\pi}{4}) = \sin^2 \frac{3\pi}{4} = (\sin(\pi - \frac{\pi}{4}))^2 = (\sin \frac{\pi}{4})^2 = (\frac{\sqrt{2}}{2})^2 = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} $

Подставим найденные значения в левую часть исходного равенства:
$ \frac{\ctg \frac{5\pi}{4} + \sin \frac{3\pi}{2} \tg(-\frac{5\pi}{4})}{2 \cos \frac{11\pi}{6} + 2 \sin^2 \frac{11\pi}{4}} = \frac{1 + (-1) \cdot (-1)}{2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + 2 \cdot \frac{1}{2}} = \frac{1+1}{\sqrt{3} + 1} = \frac{2}{\sqrt{3} + 1} $.

Упростим полученное выражение, избавившись от иррациональности в знаменателе. Для этого домножим числитель и знаменатель на выражение, сопряженное знаменателю, то есть на $ (\sqrt{3} - 1) $:
$ \frac{2}{\sqrt{3} + 1} = \frac{2(\sqrt{3} - 1)}{(\sqrt{3} + 1)(\sqrt{3} - 1)} = \frac{2(\sqrt{3} - 1)}{(\sqrt{3})^2 - 1^2} = \frac{2(\sqrt{3} - 1)}{3 - 1} = \frac{2(\sqrt{3} - 1)}{2} = \sqrt{3} - 1 $.

В результате вычислений левая часть равна $ \sqrt{3} - 1 $, что совпадает с правой частью равенства. Таким образом, равенство доказано.

Ответ: Равенство доказано.