Номер 13.26, страница 90, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

13.26. Докажите равенство:

a) $\frac{\sin \frac{\pi}{4} - \cos \pi - \text{tg } \frac{\pi}{4}}{2 \sin \frac{\pi}{6} - \sin \frac{3\pi}{2}} = \frac{\sqrt{2}}{4};$

б) $\frac{\text{ctg } \frac{5\pi}{4} + \sin \frac{3\pi}{2} \text{ tg } \left(-\frac{5\pi}{4}\right)}{2 \cos \frac{11\pi}{6} + 2 \sin^2 \frac{11\pi}{4}} = \sqrt{3} - 1.$

а)

Для доказательства равенства преобразуем его левую часть. Сначала вычислим значения тригонометрических функций, входящих в выражение, используя их табличные значения:
$ \sin \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} $
$ \cos \pi = -1 $
$ \tg \frac{\pi}{4} = 1 $
$ \sin \frac{\pi}{6} = \frac{1}{2} $
$ \sin \frac{3\pi}{2} = -1 $

Теперь подставим эти значения в левую часть исходного равенства:
$ \frac{\sin \frac{\pi}{4} - \cos \pi - \tg \frac{\pi}{4}}{2 \sin \frac{\pi}{6} - \sin \frac{3\pi}{2}} = \frac{\frac{\sqrt{2}}{2} - (-1) - 1}{2 \cdot \frac{1}{2} - (-1)} = \frac{\frac{\sqrt{2}}{2} + 1 - 1}{1 + 1} = \frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{2} = \frac{\sqrt{2}}{4} $.

В результате вычислений мы получили, что левая часть равна $ \frac{\sqrt{2}}{4} $, что совпадает с правой частью равенства. Таким образом, равенство доказано.

Ответ: Равенство доказано.

б)

Для доказательства второго равенства также преобразуем его левую часть. Вычислим значения тригонометрических функций, используя формулы приведения и свойства чётности/нечётности:
$ \ctg \frac{5\pi}{4} = \ctg(\pi + \frac{\pi}{4}) = \ctg \frac{\pi}{4} = 1 $
$ \sin \frac{3\pi}{2} = -1 $
$ \tg(-\frac{5\pi}{4}) = -\tg(\frac{5\pi}{4}) = -\tg(\pi + \frac{\pi}{4}) = -\tg \frac{\pi}{4} = -1 $
$ \cos \frac{11\pi}{6} = \cos(2\pi - \frac{\pi}{6}) = \cos \frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2} $
$ \sin^2 \frac{11\pi}{4} = \sin^2(2\pi + \frac{3\pi}{4}) = \sin^2 \frac{3\pi}{4} = (\sin(\pi - \frac{\pi}{4}))^2 = (\sin \frac{\pi}{4})^2 = (\frac{\sqrt{2}}{2})^2 = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} $

Подставим найденные значения в левую часть исходного равенства:
$ \frac{\ctg \frac{5\pi}{4} + \sin \frac{3\pi}{2} \tg(-\frac{5\pi}{4})}{2 \cos \frac{11\pi}{6} + 2 \sin^2 \frac{11\pi}{4}} = \frac{1 + (-1) \cdot (-1)}{2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + 2 \cdot \frac{1}{2}} = \frac{1+1}{\sqrt{3} + 1} = \frac{2}{\sqrt{3} + 1} $.

Упростим полученное выражение, избавившись от иррациональности в знаменателе. Для этого домножим числитель и знаменатель на выражение, сопряженное знаменателю, то есть на $ (\sqrt{3} - 1) $:
$ \frac{2}{\sqrt{3} + 1} = \frac{2(\sqrt{3} - 1)}{(\sqrt{3} + 1)(\sqrt{3} - 1)} = \frac{2(\sqrt{3} - 1)}{(\sqrt{3})^2 - 1^2} = \frac{2(\sqrt{3} - 1)}{3 - 1} = \frac{2(\sqrt{3} - 1)}{2} = \sqrt{3} - 1 $.

В результате вычислений левая часть равна $ \sqrt{3} - 1 $, что совпадает с правой частью равенства. Таким образом, равенство доказано.

Ответ: Равенство доказано.