Номер 13.28, страница 91, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

Докажите тождество:

13.28. a) $1 + \tan^2 t = \cos^{-2} t$;

б) $1 + \cot^2 t = \sin^{-2} t$;

в) $\sin^2 t (1 + \cot^2 t) = 1$;

г) $\cos^2 t (1 + \tan^2 t) = 1$.

а)

Для доказательства тождества $1 + \text{tg}^2 t = \text{cos}^{-2} t$ преобразуем его левую часть. Воспользуемся определением тангенса $\text{tg} t = \frac{\sin t}{\cos t}$:

$1 + \text{tg}^2 t = 1 + \left(\frac{\sin t}{\cos t}\right)^2 = 1 + \frac{\sin^2 t}{\cos^2 t}$

Приведем выражение к общему знаменателю $\cos^2 t$:

$1 + \frac{\sin^2 t}{\cos^2 t} = \frac{\cos^2 t}{\cos^2 t} + \frac{\sin^2 t}{\cos^2 t} = \frac{\cos^2 t + \sin^2 t}{\cos^2 t}$

Согласно основному тригонометрическому тождеству, $\sin^2 t + \cos^2 t = 1$. Подставим это значение в числитель:

$\frac{\cos^2 t + \sin^2 t}{\cos^2 t} = \frac{1}{\cos^2 t}$

По определению степени с отрицательным показателем, $\frac{1}{a^n} = a^{-n}$, следовательно:

$\frac{1}{\cos^2 t} = \cos^{-2} t$

Мы преобразовали левую часть тождества к правой, что и требовалось доказать.

Ответ: Тождество доказано.

б)

Для доказательства тождества $1 + \text{ctg}^2 t = \text{sin}^{-2} t$ преобразуем его левую часть. Воспользуемся определением котангенса $\text{ctg} t = \frac{\cos t}{\sin t}$:

$1 + \text{ctg}^2 t = 1 + \left(\frac{\cos t}{\sin t}\right)^2 = 1 + \frac{\cos^2 t}{\sin^2 t}$

Приведем выражение к общему знаменателю $\sin^2 t$:

$1 + \frac{\cos^2 t}{\sin^2 t} = \frac{\sin^2 t}{\sin^2 t} + \frac{\cos^2 t}{\sin^2 t} = \frac{\sin^2 t + \cos^2 t}{\sin^2 t}$

Применим основное тригонометрическое тождество $\sin^2 t + \cos^2 t = 1$:

$\frac{\sin^2 t + \cos^2 t}{\sin^2 t} = \frac{1}{\sin^2 t}$

По определению степени с отрицательным показателем, $\frac{1}{a^n} = a^{-n}$, следовательно:

$\frac{1}{\sin^2 t} = \sin^{-2} t$

Левая часть тождества равна правой, что и требовалось доказать.

Ответ: Тождество доказано.

в)

Для доказательства тождества $\sin^2 t (1 + \text{ctg}^2 t) = 1$ преобразуем его левую часть. Можно пойти двумя путями.
Способ 1: Используем тождество, доказанное в пункте б): $1 + \text{ctg}^2 t = \frac{1}{\sin^2 t}$.

$\sin^2 t (1 + \text{ctg}^2 t) = \sin^2 t \cdot \frac{1}{\sin^2 t} = 1$

Способ 2: Раскроем скобки и используем определение котангенса.

$\sin^2 t (1 + \text{ctg}^2 t) = \sin^2 t \cdot 1 + \sin^2 t \cdot \text{ctg}^2 t = \sin^2 t + \sin^2 t \cdot \left(\frac{\cos t}{\sin t}\right)^2$

$\sin^2 t + \sin^2 t \cdot \frac{\cos^2 t}{\sin^2 t} = \sin^2 t + \cos^2 t$

По основному тригонометрическому тождеству, $\sin^2 t + \cos^2 t = 1$.

В обоих случаях мы получили, что левая часть равна 1, что и требовалось доказать.

Ответ: Тождество доказано.

г)

Для доказательства тождества $\cos^2 t (1 + \text{tg}^2 t) = 1$ преобразуем его левую часть.
Способ 1: Используем тождество, доказанное в пункте а): $1 + \text{tg}^2 t = \frac{1}{\cos^2 t}$.

$\cos^2 t (1 + \text{tg}^2 t) = \cos^2 t \cdot \frac{1}{\cos^2 t} = 1$

Способ 2: Раскроем скобки и используем определение тангенса.

$\cos^2 t (1 + \text{tg}^2 t) = \cos^2 t \cdot 1 + \cos^2 t \cdot \text{tg}^2 t = \cos^2 t + \cos^2 t \cdot \left(\frac{\sin t}{\cos t}\right)^2$

$\cos^2 t + \cos^2 t \cdot \frac{\sin^2 t}{\cos^2 t} = \cos^2 t + \sin^2 t$

По основному тригонометрическому тождеству, $\cos^2 t + \sin^2 t = 1$.

В обоих случаях мы получили, что левая часть равна 1, что и требовалось доказать.

Ответ: Тождество доказано.